Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} = \frac{n_1 x_1+n_2 x_2 + n_2 x_3-(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3)}{\vert \vec{n} \vert} = 0</math> | <math>\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} = \frac{n_1 x_1+n_2 x_2 + n_2 x_3-(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3)}{\vert \vec{n} \vert} = 0</math> | ||
| − | Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> ist. Das ist so festgelegt. In der HNF muss also vor der Konstanten <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> ein Minuszeichen stehen! | + | Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> ist. Das ist so festgelegt. In der HNF in Koordinatenschreibweise muss also vor der Konstanten <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> ein Minuszeichen stehen! |
{{Aufgaben-blau||2= Geben Sie die Hessesche Normalenform an: <br> | {{Aufgaben-blau||2= Geben Sie die Hessesche Normalenform an: <br> | ||
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{{Lösung versteckt|1=a) <math>\frac{2 x_1+ x_2 -2 x_3 - 4}{3} = 0</math><br> | {{Lösung versteckt|1=a) <math>\frac{2 x_1+ x_2 -2 x_3 - 4}{3} = 0</math><br> | ||
b) <math>-\frac{3 x_1 + x_2 -20 x_3 + 45}{\sqrt{410}} = 0</math> Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF <math>\frac{-3 x_1 - x_2 + 20 x_3 - 45}{\sqrt{410}} = 0</math> | b) <math>-\frac{3 x_1 + x_2 -20 x_3 + 45}{\sqrt{410}} = 0</math> Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF <math>\frac{-3 x_1 - x_2 + 20 x_3 - 45}{\sqrt{410}} = 0</math> | ||
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| + | {{Aufgaben-blau||2=Für die erste Ebene steht in der Normalenform -4, also ist das Skalarprodukt <math>\vec{n} \circ \vec{a} = 4</math>, positiv.<br> Betrachten Sie für diese Ebene den den Normalenvektor <math>\vec{n}</math> und den Vektor <math>\vec{a}</math> . Hier ist der Normalenvektor <math>\vec{n} = }vec{AP}</math> .<br> | ||
| + | [[Datei:Hnf1.jpg|HNF_1|300px]]<br> | ||
| + | Was stellen Sie fest? }} | ||
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| + | {{Lösung versteckt| Man sieht, dass beide Vektoren vom Urprung aus in die gleiche durch die Ebene E erzeugte Halbebene zeigen. <math>\vec{n}</math> und <math> \vec{a} > 0</math> haben in etwa "die gleiche Richtung", das Skalarprodukt ist positiv.}} | ||
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| + | Die Festlegung | ||
Version vom 22. März 2020, 10:50 Uhr
Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.
Hintergrund zur Hesseschen Normalenform (HNF):
Wir kennen die Normalenform einer Ebenengleichung. 
.
Normiert man den Normalenvektoer 
, also 
, dann erhält man einen Vektor 
, der die gleiche Richtung wie der Normalenvektor und die Länge 
hat.
Mit dem Vektor erstellt man ebenso eine Normalenform 
der Ebene. Man kann dies umformen und in Koordinatenschreibweise angeben:
Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass 
ist. Das ist so festgelegt. In der HNF in Koordinatenschreibweise muss also vor der Konstanten ein Minuszeichen stehen!
Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF 
, positiv.
. Hier ist der Normalenvektor Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \vec{n} = }vec{AP}
haben in etwa "die gleiche Richtung", das Skalarprodukt ist positiv.Die Festlegung
