Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 22. März 2020, 10:10 Uhr

Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.

Hintergrund zur Hesseschen Normalenform (HNF):

Wir kennen die Normalenform einer Ebenengleichung. $\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})=0$ .
Normiert man den Normalenvektoer $\vec{n}$ , also $\vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}$ , dann erhält man einen Vektor $\vec{n}^o$ , der die gleiche Richtung wie der Normalenvektor $\vec{n}$ und die Länge $\vert \vec{n}^o \vert =\frac{\vert \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}=1$ hat.
Mit dem Vektor $\vec{n}^o$ erstellt man ebenso eine Normalenform $\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})=0$ der Ebene. Man kann dies umformen und in Koordinatenschreibweise angeben:
$\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} = \frac{n_1 x_1+n_2 x_2 + n_2 x_3-(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3)}{\vert \vec{n} \vert} = 0$

Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ ist. Das ist so festgelegt. In der HNF in Koordinatenschreibweise muss also vor der Konstanten $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ ein Minuszeichen stehen!

Aufgabe 1

Geben Sie die Hessesche Normalenform an:
a) 2x₁+ x₂ - 2x₃ - 4 = 0
b) 3x₁+ x₂ - 20x₃ + 45 = 0

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $\frac{2 x_1+ x_2 -2 x_3 - 4}{3} = 0$

b) $-\frac{3 x_1 + x_2 -20 x_3 + 45}{\sqrt{410}} = 0$ Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF $\frac{-3 x_1 - x_2 + 20 x_3 - 45}{\sqrt{410}} = 0$

Aufgabe 2

Für die erste Ebene steht in der Normalenform -4, also ist das Skalarprodukt $\vec{n} \circ \vec{a} = 4$ , positiv.
Betrachten Sie für diese Ebene den den Normalenvektor $\vec{n}$ und den Vektor $\vec{a}$ . Hier ist der Normalenvektor $\vec{n} = \vec{AP}$ .

Was stellen Sie fest?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Ebene E teilt den Raum in zwei Halbräume. Man sieht, dass beide Vektoren vom Urprung aus in die gleiche durch die Ebene E erzeugten Halbraum zeigen. $\vec{n}$ und $\vec{a}$ haben in etwa "die gleiche Richtung", das Skalarprodukt ist positiv.

Die Festlegung $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ bedeutet anschaulich, dass vom Ursprung aus die $\vec{n}$ und $\vec{a}$ haben in etwa "die gleiche Richtung" haben.

Aufgabe 3

Die Ebene 3x₁+ x₂ - 20x₃ + 45 = 0 ist die Ebene E aus Aufgabe 147/16. Für diese Ebene stellt sich die Situation so dar.

Was stellen Sie hier fest?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Hier sieht man, dass die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in verschiedene durch die Ebene E erzeugten Halbräume zeigen. Ihr Zwischenwinkel ist > 90°. Also ist ihr Skalarprodukt negativ und in der Normalenform steht -(-45) = 45. Dann muss man für die HNF das Vorzeichen ändern, indem man vor den Bruch ein Minuszeichen schreibt. dies ist in Aufgabe 1 erfolgt.

Normiert man den Normalenvektor $\vec{n}$ und geht vom Lot

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 Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> ist. Das ist so festgelegt. In der HNF in Koordinatenschreibweise muss also vor der Konstanten <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> ein Minuszeichen stehen!
-{{Aufgaben-blau||2= Geben Sie die Hessesche Normalenform an: <br>
+{{Aufgaben-blau|1|2= Geben Sie die Hessesche Normalenform an: <br>
-a) 2x<sub>1</sub>+ x<sub>2</sub> - 2x<sub>3</sub> - 4 = 0
+a) 2x<sub>1</sub>+ x<sub>2</sub> - 2x<sub>3</sub> - 4 = 0<br>
 b) 3x<sub>1</sub>+ x<sub>2</sub> - 20x<sub>3</sub> + 45 = 0
 }}
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 }}
-{{Aufgaben-blau||2=Für die erste Ebene steht in der Normalenform -4, also ist das Skalarprodukt <math>\vec{n} \circ \vec{a} = 4</math>, positiv.<br> Betrachten Sie für diese Ebene den den Normalenvektor <math>\vec{n}</math> und den Vektor <math>\vec{a}</math> . Hier ist der Normalenvektor <math>\vec{n} = }vec{AP}</math> .<br>
+{{Aufgaben-blau|2|2=Für die erste Ebene steht in der Normalenform -4, also ist das Skalarprodukt <math>\vec{n} \circ \vec{a} = 4</math>, positiv.<br> Betrachten Sie für diese Ebene den den Normalenvektor <math>\vec{n}</math> und den Vektor <math>\vec{a}</math> . Hier ist der Normalenvektor <math>\vec{n} = \vec{AP}</math> .<br>
 [[Datei:Hnf1.jpg|HNF_1|300px]]<br>
 Was stellen Sie fest? }}
-{{Lösung versteckt| Man sieht, dass beide Vektoren vom Urprung aus in die gleiche durch die Ebene E erzeugte Halbebene zeigen. <math>\vec{n}</math> und <math> \vec{a} > 0</math> haben in etwa "die gleiche Richtung", das Skalarprodukt ist positiv.}}
+{{Lösung versteckt|Die Ebene E teilt den Raum in zwei Halbräume. Man sieht, dass beide Vektoren vom Urprung aus in die gleiche durch die Ebene E erzeugten Halbraum zeigen. <math>\vec{n}</math> und <math> \vec{a}</math> haben in etwa "die gleiche Richtung", das Skalarprodukt ist positiv.}}
-Die Festlegung
+Die Festlegung <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> bedeutet anschaulich, dass vom Ursprung aus die <math>\vec{n}</math> und <math> \vec{a}</math> haben in etwa "die gleiche Richtung" haben.
+{{Aufgaben-blau|3|2=Die Ebene 3x<sub>1</sub>+ x<sub>2</sub> - 20x<sub>3</sub> + 45 = 0 ist die Ebene E aus Aufgabe 147/16. Für diese Ebene stellt sich die Situation so dar. <br>
+[[Datei:Hnf2.jpg|HNF_2|300px]]<br>
+Was stellen Sie hier fest?}}
+{{Lösung versteckt|1=Hier sieht man, dass die Vektoren <math>\vec{n}</math> und <math> \vec{a} </math>  in verschiedene durch die Ebene E erzeugten Halbräume zeigen. Ihr Zwischenwinkel ist > 90°. Also ist ihr Skalarprodukt negativ und in der Normalenform steht -(-45) = 45. Dann muss man für die HNF das Vorzeichen ändern, indem man vor den Bruch ein Minuszeichen schreibt. dies ist in Aufgabe 1 erfolgt.}}
+Normiert man den Normalenvektor <math>\vec{n}</math> und geht vom Lot

Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 22. März 2020, 10:10 Uhr

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