Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen
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Wir kennen die Normalenform einer Ebenengleichung. <math>\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})=0</math>.<br> | Wir kennen die Normalenform einer Ebenengleichung. <math>\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})=0</math>.<br> | ||
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Die gerade ausgeführte Überlegung führt zu Abstandsbestimmung eines Punktes P von der Ebene E. | Die gerade ausgeführte Überlegung führt zu Abstandsbestimmung eines Punktes P von der Ebene E. | ||
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− | Man erhält den Abstand, indem man in der Hesseschen Normalform den Ortsvektor <math>\vec{x}</math> durch den Ortsvektor <math>\vec{ | + | Man erhält den Abstand, indem man in der Hesseschen Normalform den Ortsvektor <math>\vec{x}</math> durch den Ortsvektor <math>\vec{p}</math> des Punktes P ersetzt.}} |
[[Datei:Hnf1b.jpg|HNF_3|300px]] Der Punkt P liegt offensichtlich nicht senkrecht über A. [[Datei:Hnf1c.jpg|HNF_4|300px]]<br> | [[Datei:Hnf1b.jpg|HNF_3|300px]] Der Punkt P liegt offensichtlich nicht senkrecht über A. [[Datei:Hnf1c.jpg|HNF_4|300px]]<br> | ||
Der Vektor <math>\vec{AP}</math> und der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> schließen nun einen Winkel ein. Dies ist der gleiche Winkel, den der Vektor <math>\vec{AP}</math> mit dem Normaleneinheitsvektor <math>\vec{n}^o </math> einschließt.<br> | Der Vektor <math>\vec{AP}</math> und der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> schließen nun einen Winkel ein. Dies ist der gleiche Winkel, den der Vektor <math>\vec{AP}</math> mit dem Normaleneinheitsvektor <math>\vec{n}^o </math> einschließt.<br> | ||
− | Es ist dann | + | Es ist also <math>\vec{n} \circ (\vec{p} - \vec{a}) = \vert \vec{n} \vert \cdot \vert \vec{AP} \vert cos \varphi </math> und |
+ | <math>\vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) = \vert \vec{n}^o \vert \cdot \vert \vec{AP} \vert cos \varphi = \vert \vec{AP} \vert cos \varphi </math> mit gleichem Winkel <math> \varphi</math> in beiden Formeln. Ist L der Lotfußpunkt des Lotes von P auf die Ebene E, dann gilt im Dreieck ALP <math> \vert \vec{LP\ = \vert \vec{AP} \vert cos \varphi </math> | ||
+ | Verlängert man den Normalenvektor <math>\vec{n}o</math> und macht durch P eine Parallele zur Ebene E, die diesen verlängerten Normaleneinheitsvektor trifft<br> | ||
+ | [[Datei:Hnf1d.jpg|HNF_5|300px]]<br> | ||
+ | dann erhält man ein rechtwinkliges Dreieck dessen zur Ebene E senkrechte Kathete die Länge <math>\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert</math> hat. Dabei kommt zum Tragen, dass wir in der HNF einen Normaleneinheitsvektor mit <math>\vec{n}^o =1</math> haben. | ||
− | + | Bemerkung: |
Version vom 22. März 2020, 11:28 Uhr
Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.
Wie man auf die Die Hesseschen Normalenform (HNF) kommt soll nun erklärt werden.
Wir kennen die Normalenform einer Ebenengleichung. .
Normiert man den Normalenvektoer , also , dann erhält man einen Vektor , der die gleiche Richtung wie der Normalenvektor und die Länge hat. Der Vektor ist der Normaleneinheitsvektor.
Mit dem Vektor erstellt man ebenso eine Normalenform der Ebene. Man kann dies umformen und in Koordinatenschreibweise angeben:
Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass ist. Das ist so festgelegt. In der HNF in Koordinatenschreibweise muss also vor der Konstanten ein Minuszeichen stehen!
a)
Wieso nun ?
Das hat eine anschauliche Bedeutung, die Sie in den nächsten zwei Aufgaben kennenlernen.
Die Festlegung bedeutet anschaulich, dass vom Ursprung aus die und haben in etwa "die gleiche Richtung" haben.
Nun zur Normierung des Normalenvektors:
In diesem Bild ist ein Punkt P außerhalb der Ebene E gegeben. A ist in diesem Fall der Lotfußpunkt des Lotes von P auf E. (Den Lotfußpunkt erhält man, indem man von P aus in Richtung des Normalenvektors der Ebene E geht und den Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene E bestimmt.)
Geht man von A in Richtung P, so ist der Vektor und der Punkt P hat von der Ebene E den Abstand . Normiert man den Normalenvektor so erhält man und es ist dann . Der Zahlenwert bei gibt dann den Abstand des Punktes P von der Ebene E an.
Nun ist und damit , was dem Term in der HNF entspricht.
Dies war nun die Überlegung, wenn der Punkt P senkrecht zur Ebene E über dem Stützpunkt A liegt.
Was macht man, wenn dies nicht der Fall ist?
Die gerade ausgeführte Überlegung führt zu Abstandsbestimmung eines Punktes P von der Ebene E.
Merke:
Der Abstand eines Punktes P von der Ebene E ist . Man erhält den Abstand, indem man in der Hesseschen Normalform den Ortsvektor durch den Ortsvektor des Punktes P ersetzt. |
Der Punkt P liegt offensichtlich nicht senkrecht über A.
Der Vektor und der Normalenvektor schließen nun einen Winkel ein. Dies ist der gleiche Winkel, den der Vektor mit dem Normaleneinheitsvektor einschließt.
Es ist also und
mit gleichem Winkel in beiden Formeln. Ist L der Lotfußpunkt des Lotes von P auf die Ebene E, dann gilt im Dreieck ALP Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \vert \vec{LP\ = \vert \vec{AP} \vert cos \varphi
Verlängert man den Normalenvektor und macht durch P eine Parallele zur Ebene E, die diesen verlängerten Normaleneinheitsvektor trifft
dann erhält man ein rechtwinkliges Dreieck dessen zur Ebene E senkrechte Kathete die Länge hat. Dabei kommt zum Tragen, dass wir in der HNF einen Normaleneinheitsvektor mit haben.
Bemerkung: