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| | Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam. | | Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam. |
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| − | | + | [[Hessesche Normalenform]] |
| − | Wie man auf die '''Die Hesseschen Normalenform (HNF)''' kommt soll nun erklärt werden.
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| − | Wir kennen die Normalenform einer Ebenengleichung. <math>\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})=0</math>.<br>
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| − | Normiert man den Normalenvektoer <math>\vec{n}</math>, also <math>\vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}</math>, dann erhält man einen Vektor <math>\vec{n}^o</math>, der die gleiche Richtung wie der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> und die Länge <math>\vert \vec{n}^o \vert =\frac{\vert \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}=1</math> hat. Der Vektor <math>\vec{n}^o </math> ist der '''Normaleneinheitsvektor'''.
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| − | Mit dem Vektor <math>\vec{n}^o</math> erstellt man ebenso eine Normalenform <math>\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})=0</math> der Ebene. Man kann dies umformen und in Koordinatenschreibweise angeben:<br>
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| − | <math>\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} = \frac{n_1 x_1+n_2 x_2 + n_2 x_3-(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3)}{\vert \vec{n} \vert} = 0</math>
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| − | Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> ist. Das ist so festgelegt. In der HNF in Koordinatenschreibweise muss also vor der Konstanten <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> ein Minuszeichen stehen!
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| − | {{Aufgaben-blau|1|2= Geben Sie die Hessesche Normalenform an: <br>
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| − | a) 2x<sub>1</sub>+ x<sub>2</sub> - 2x<sub>3</sub> - 4 = 0<br>
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| − | b) 3x<sub>1</sub>+ x<sub>2</sub> - 20x<sub>3</sub> + 45 = 0
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| − | {{Lösung versteckt|1=a) <math>\frac{2 x_1+ x_2 -2 x_3 - 4}{3} = 0</math><br>
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| − | b) <math>-\frac{3 x_1 + x_2 -20 x_3 + 45}{\sqrt{410}} = 0</math> <br>
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| − | Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF <math>\frac{-3 x_1 - x_2 + 20 x_3 - 45}{\sqrt{410}} = 0</math>
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| − | Wieso nun <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math>?
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| − | Das hat eine anschauliche Bedeutung, die Sie in den nächsten zwei Aufgaben kennenlernen.
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| − | {{Aufgaben-blau|2|2=Für die erste Ebene steht in der Normalenform -4, also ist das Skalarprodukt <math>\vec{n} \circ \vec{a} = 4</math>, positiv.<br> Betrachten Sie für diese Ebene den den Normalenvektor <math>\vec{n}</math> und den Vektor <math>\vec{a}</math> . Hier ist der Normalenvektor <math>\vec{n} = \vec{AP}</math> .<br>
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| − | [[Datei:Hnf1.jpg|HNF_1|300px]]<br> | + | |
| − | Was stellen Sie fest? }}
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| − | {{Lösung versteckt|Die Ebene E teilt den Raum in zwei Halbräume. Man sieht, dass beide Vektoren vom Urprung aus in die gleiche durch die Ebene E erzeugten Halbraum zeigen. <math>\vec{n}</math> und <math> \vec{a}</math> haben in etwa "die gleiche Richtung", das Skalarprodukt ist positiv.}}
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| − | Die Festlegung <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> bedeutet anschaulich, dass vom Ursprung aus die <math>\vec{n}</math> und <math> \vec{a}</math> haben in etwa "die gleiche Richtung" haben.
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| − | {{Aufgaben-blau|3|2=Die Ebene 3x<sub>1</sub>+ x<sub>2</sub> - 20x<sub>3</sub> + 45 = 0 ist die Ebene E aus Aufgabe 147/16. Für diese Ebene stellt sich die Situation so dar. <br>
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| − | [[Datei:Hnf2.jpg|HNF_2|300px]]<br>
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| − | Was stellen Sie hier fest?}}
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| − | {{Lösung versteckt|1=Hier sieht man, dass die Vektoren <math>\vec{n}</math> und <math> \vec{a} </math> in verschiedene durch die Ebene E erzeugten Halbräume zeigen. Ihr Zwischenwinkel ist > 90°. Also ist ihr Skalarprodukt negativ und in der Normalenform steht -(-45) = 45. Dann muss man für die HNF das Vorzeichen ändern, indem man vor den Bruch ein Minuszeichen schreibt. dies ist in Aufgabe 1 erfolgt.}}
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| − | Nun zur Normierung des Normalenvektors:
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| − | In diesem Bild ist ein Punkt P außerhalb der Ebene E gegeben. A ist in diesem Fall der Lotfußpunkt des Lotes von P auf E. (Den Lotfußpunkt erhält man, indem man von P aus in Richtung des Normalenvektors der Ebene E geht und den Schnittpunkt der Lotgeraden <math>l: \vec{x}=\vec{p} + k \vec{n}</math> mit der Ebene E bestimmt.)<br>
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| − | [[Datei:Hnf1.jpg|HNF_1|300px]]<br>
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| − | Geht man von A in Richtung P, so ist der Vektor <math>\vec{AP}=\vec{n}</math> und der Punkt P hat von der Ebene E den Abstand <math>\vert \vec{AP} \vert </math>. Normiert man den Normalenvektor so erhält man <math>\vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}</math> und es ist dann <math> \vec{AP}= \vert \vec{n} \vert \cdot\vec{n}^o </math>. Der Zahlenwert bei <math>\vec{n}^o</math> gibt dann den Abstand des Punktes P von der Ebene E an.
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| − | Nun ist <math>\vec{AP}=\vec{p}-\vec{a}</math> und damit <math> n = \vec{n}^o \circ \vec{} = \vec{n}^o \circ \vec{AP}=\vec{n}^o \circ \vec{p}-\vec{a} </math>, was dem Term in der HNF entspricht. <br>
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| − | Dies war nun die Überlegung, wenn der Punkt P senkrecht zur Ebene E über dem Stützpunkt A liegt.
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| − | Was macht man, wenn dies nicht der Fall ist?<br>
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| − | Die gerade ausgeführte Überlegung führt zu Abstandsbestimmung eines Punktes P von der Ebene E.
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| − | {{Merksatz|MERK=Der Abstand eines Punktes P von der Ebene E ist <math> d(P;E)=\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert</math>.
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| − | Man erhält den Abstand, indem man in der Hesseschen Normalform den Ortsvektor <math>\vec{x}</math> durch den Ortsvektor <math>\vec{p}</math> des Punktes P ersetzt.}}
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| − | [[Datei:Hnf1b.jpg|HNF_3|300px]] Der Punkt P liegt offensichtlich nicht senkrecht über A. [[Datei:Hnf1c.jpg|HNF_4|300px]]<br>
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| − | Der Vektor <math>\vec{AP}</math> und der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> schließen nun einen Winkel ein. Dies ist der gleiche Winkel, den der Vektor <math>\vec{AP}</math> mit dem Normaleneinheitsvektor <math>\vec{n}^o </math> einschließt.<br>
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| − | Es ist also <math>\vec{n} \circ (\vec{p} - \vec{a}) = \vert \vec{n} \vert \cdot \vert \vec{AP} \vert cos \varphi </math> und
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| − | <math>\vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) = \vert \vec{n}^o \vert \cdot \vert \vec{AP} \vert cos \varphi = \vert \vec{AP} \vert cos \varphi </math> mit gleichem Winkel <math> \varphi</math> in beiden Formeln.
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| − | [[Datei:Hnf1d.jpg|HNF_5|300px]]<br>
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| − | Ist L der Lotfußpunkt des Lotes von P auf die Ebene E, dann gilt im rechtwinkligen Dreieck ALP <math> \vert \vec{LP} = \vert \vec{AP} \vert cos \varphi </math>.
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| − | Es ist also <math>d(P,E)= \vert \vec{LP} \vert = \vert \vec{AP} \vert cos \varphi =\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert</math>
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| − | '''Bemerkungen:'''
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| − | 1. Da für den Abstand <math> d(P;E)=\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert</math> des Punktes P von der Ebene E ein Betrag die Rechnung bestimmt sind die Überlegungen zu <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> bedeutungslos, da es für die Abstandsberechnung egal ist ob man von <math>\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert}</math> oder von <math>-\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= -\frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert}</math> den Betrag nimmt.
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| − | 2. Lässt man beim Abstand <math> d(P;E)=\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert</math> des Punktes P von der Ebene E die Betragsstriche weg, also <math> d(P;E)= \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) </math> erhält man noch mehr Informationen.
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| − | Für die Abstandsberechnung wird die HNF <math>\vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a})=0</math> vorausgesetzt, also <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math>. Wenn mann dann die richtige HNF hat, statt <math>\vec{x}</math> <math>\vec{p}</math> in <math> d(P;E)= \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) </math> einsetzt und den Abstand des Punktes P von der Ebene E mit <math> d(P;E)= \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) </math> berechnet, dann kann d(P,E) auch negative Werte annehmen. Dabei bedeutet<br>
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| − | d(P,E) > 0, dass P und der Ursprung O in verschiedenen Halbräumen des durch E geteilten Raumes liegen.<br>
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| − | d(P,E) = 0, dass P in E liegt.
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| − | d(P,E) < 0, dass P und der Ursprung O im gleichen Halbraum liegen.
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