Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen

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O und P liegen jeweils im Abstand 2 in verschiedenen Halbräumen zur Ebene E.<br>
 
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{{Lösung versteckt|1=(1) Wegen <math> \left( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ 2  \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ 1  \end{array}\right) = 0</math> steht der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene E. <math>\vec{u}</math> ist also komplanar zu den Richtungsvektoren der Ebene E. <br>
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Die Ebene E hat als HNF <math> \frac{2\cdot x_1-2 \cdot x_2- x_3 +10}{3}=0</math>.
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Für den Stützpunkt A(7;-13;-4) der Gerade g berechnet man <math>d(A,E)=\frac{14+26+4+10}{3}=\frac{54}{3}=18</math>, also liegt A nicht in E und g ist echt parallel zu E. Das g echt parallel zu E ist, hat g auch den Abstand 18 zur Ebene E. <br>
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Wird g senkrecht auf E projeziert, dann wird in Richtung des Normalenvektors projeziert. Fällt man von A das Lot <math>l: \vec{x} =
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\left( \begin{array}{c} 7 \\\ -13 \\\ -4  \end{array}\right) + k \left( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ -1  \end{array}\right)</math>  auf E, dann erhält man den Lotfusspunkt L durch 2(7+2k)-2(-13-2k)-(-4-k)+10=0 und k = -6 und L(-5;-1;2). Damit hat man für g<sup>*</sup> den Stützpunkt. Ihr Richtungsvektor ist derselbe wie bei g, da er "in E liegt" (ist komplanar zu den Richtungsvektoren von E). Die senkrechte Projektion von g in die Ebene E ist dann <math>g^* \vec{x}=\left( \begin{array}{c} -5 \\\ -1 \\\ 2  \end{array}\right) + r \left( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ 3  \end{array}\right)</math> .
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(2) Analog geht man hier vor. <br>
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<math> \left( \begin{array}{c} -5 \\\ 6 \\\ -1  \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 1 \\\ 1  \end{array}\right) = 0</math> .<br>
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HNF von E: <math> \frac{x_1+ x_2 + x_3 + 12}{\sqrt{3}}=0</math>.<br>
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<math>d(A,E)=\frac{0+7-1+12}{\sqrt{3}}=\frac{18}{3}=18</math><br>
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<math>l: \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 0 \\\ 7 \\\ -1  \end{array}\right) + k \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 1 \\\ 1  \end{array}\right)</math> <br>
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k + (7+k) + (-1+k) + 12 = 0 --> k = -6 und L(-6;1;-7)<br>
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<math>g^*: \vec{x}=\left( \begin{array}{c} -6 \\\ 1 \\\ -7  \end{array}\right) + r \left( \begin{array}{c} -5 \\\ 6 \\\ -1  \end{array}\right)</math>
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Version vom 24. März 2020, 18:05 Uhr

Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.


Die Hessesche Normalenform (HNF)

Winkelberechnungen

Aufgaben

S. 153/1

a) Die Ebene E hat als HNF \frac{2x_1+x_2+2x_3}{3}=0.
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E d(O,E)=\vert \frac{0+0+0-2}{3} \vert=\vert\frac{-2}{3}\vert=\frac{2}{3}. 

Man kann die Rechnung auch ohne Betragstriche machen. Ergibt sich ein negatives Ergebnis wie hier -\frac{2}{3} nimmt man hiervon den Betrag.

Der Abstand des Punktes P(6;-1;9) von der Ebene E ist d(P,E)=\frac{2\cdot6-1+2\cdot9}{3})=\frac{27}{3}=9

b) Die Ebene E hat als HNF \frac{x_1-x_2+6}{\sqrt{2}}=0.
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E d(O,E)= \frac{0-0+6}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.
Der Punkt P(7;7;2) hat von E den Abstand d(P,E)=\frac{7-7+6}{\sqrt{2}})=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.

c) Die Ebene E hat als HNF \frac{x_1-2 \cdot x_2-2\cdot x_3}{3}=0.
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E d(O,E)= \frac{0-0-0}{3} = 0. Der Ursprung liegt in der Ebene E.
Der Punkt P(-1;1;3) hat von E den Abstand d(P,E)=\vert \frac{-1-2-6}{3} \vert=\vert \frac{-9}{3}\vert =3.

d) Die Ebene E hat als HNF \frac{3\cdot x_1+4\cdot x_3-10}{5}=0.
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E d(O,E)=\vert \frac{0+0-10}{5}\vert = \vert -2\vert = 2.
Der Punkt P(4;-1;2) hat von E den Abstand d(P,E)=\frac{12+8-10}{5}=\frac{10}{5}=2.
O und P liegen jeweils im Abstand 2 in verschiedenen Halbräumen zur Ebene E.

Abstand

S. 153/2

(1) Wegen \left( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ 2 \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ 1 \end{array}\right) = 0 steht der Richtungsvektor \vec{u} der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor \vec{n} der Ebene E. \vec{u} ist also komplanar zu den Richtungsvektoren der Ebene E.
Die Ebene E hat als HNF \frac{2\cdot x_1-2 \cdot x_2- x_3 +10}{3}=0. Für den Stützpunkt A(7;-13;-4) der Gerade g berechnet man d(A,E)=\frac{14+26+4+10}{3}=\frac{54}{3}=18, also liegt A nicht in E und g ist echt parallel zu E. Das g echt parallel zu E ist, hat g auch den Abstand 18 zur Ebene E.
Wird g senkrecht auf E projeziert, dann wird in Richtung des Normalenvektors projeziert. Fällt man von A das Lot l: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 7 \\\ -13 \\\ -4 \end{array}\right) + k \left( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ -1 \end{array}\right) auf E, dann erhält man den Lotfusspunkt L durch 2(7+2k)-2(-13-2k)-(-4-k)+10=0 und k = -6 und L(-5;-1;2). Damit hat man für g* den Stützpunkt. Ihr Richtungsvektor ist derselbe wie bei g, da er "in E liegt" (ist komplanar zu den Richtungsvektoren von E). Die senkrechte Projektion von g in die Ebene E ist dann g^* \vec{x}=\left( \begin{array}{c} -5 \\\ -1 \\\ 2 \end{array}\right) + r \left( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) .

(2) Analog geht man hier vor.
\left( \begin{array}{c} -5 \\\ 6 \\\ -1 \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 1 \\\ 1 \end{array}\right) = 0 .
HNF von E: \frac{x_1+ x_2 + x_3 + 12}{\sqrt{3}}=0.
d(A,E)=\frac{0+7-1+12}{\sqrt{3}}=\frac{18}{3}=18
l: \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 0 \\\ 7 \\\ -1 \end{array}\right) + k \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 1 \\\ 1 \end{array}\right)
k + (7+k) + (-1+k) + 12 = 0 --> k = -6 und L(-6;1;-7)

g^*: \vec{x}=\left( \begin{array}{c} -6 \\\ 1 \\\ -7 \end{array}\right) + r \left( \begin{array}{c} -5 \\\ 6 \\\ -1 \end{array}\right)
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