M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RSG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Die Seite wurde neu angelegt: „=Bruchgleichungen= Bei den [http://rsg.zum.de/wiki/M8_Bruchgleichungen Bruchgleichungen der 8. Klasse] hast du schon Gleichungen wie <math>\frac{x}{x+1}=x</ma…“)
 
Zeile 21: Zeile 21:
 
<math> 2x^2 + 4 = 3x^2 -6</math> <br>
 
<math> 2x^2 + 4 = 3x^2 -6</math> <br>
 
<math>10=x^2</math>, also L={<math>-\sqrt {10}, \sqrt {10} </math>}<br>
 
<math>10=x^2</math>, also L={<math>-\sqrt {10}, \sqrt {10} </math>}<br>
−
c) D=R\{-1;1} (3. binomische Formel x²-1=(x-1)(x+1)!) HN = <math>x^2-1<br>
+
c) D=R\{-1;1} (3. binomische Formel x²-1=(x-1)(x+1)!) HN = <math>x^2-1</math><br>
 
x(x+1)-(15-x)=0 --> x² +2x -15 = 0 --> x<sub>1</sub>=-5; x<sub>2</sub>=3 }}
 
x(x+1)-(15-x)=0 --> x² +2x -15 = 0 --> x<sub>1</sub>=-5; x<sub>2</sub>=3 }}
  
 
=Anwendungsaufgaben=
 
=Anwendungsaufgaben=
 +
 +
{{Aufgaben-blau|3|2=Knobelaufgabe S. 76 / 9<br>
 +
Dreiecksaufgabe S. 76 / 11 <br>
 +
Busfahrt S. 77 / 14
 +
}}
 +
 +
{{Lösung versteckt|1=76/9a) Die zugehörige Gleichung ist <math>x = x^2-1</math> mit der positven Lösung <math>x_1=\frac{1+\sqrt 5}{2}</math>.<br>
 +
b) Die zugehörige Gleichung ist <math>x = \frac {1}{x} +1</math> mit den Lösungen  <math>x_1=\frac{1-\sqrt 5}{2},  x_2=\frac{1+\sqrt 5}{2}</math>
 +
 +
76/11 Mache dir zuerst eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks (Hypotenuse c unten, Katheten rechts und links, z.b. die rechte Kathete länger, dann ist die längere Kathete b, die kürzere a) Es ist dann a = b-7, c = b+1 und mit dem Satz von Pythagoras erhält man <math>(c+1)^2=b^2+(b-7)^2</math>. Nun löst man die Klammern auf und fasst zusammen. Es ergibt sich die quadratische Gleichung <math>b^2-16b+48=0</math>, welche die Lösungen <math>b_1=4, b_2=12</math>. Wegen a = b-7 ist b<sub>1</sub>=4 keine Lösung, also hat das Dreieck die Seitenlängen a = 5, b = 12, c = 13. <br>
 +
(Übrigens ist (5;12;13) ein pythagroräisches Zahlentripfel!)<br>
 +
<math>u_{Dreieck}=5+12+13=30</math>, <math>A_{Dreieck}=\frac{1}{2}4\cdot 12=30</math><br>
 +
Der Umkreis hat den Radius <math>r=\frac {c}{2}=6,5</math> (Thaleskreis!), also ist <math>A_{Kreis}=6,5^2 \pi\approx 132,73</math><br>
 +
Es ist <math>\frac{A_{Dreieck}}{A_{Kreis}}=\frac{30}{132,73}=0,226=22,6%</math>
 +
 +
77/14 Für den vollen Bus sind n Mitfahrer eingeplant. Jeder Mitfahrer zahlt dann für die Busfahrt <math>x=\frac{450}{n}</math>.<br>
 +
Da nun 5 Personen weniger mitfahren, es ist also die Anzahl der Mitfahrer n - 5. Und jeder Mitfahrer zahlt nun x + 1. <br>
 +
Man hat nun die Gleichung <math>450 = (n-5)(x+1)</math>. Diese Gleichung hat nun zwei Unbekannte n und x. Wir kennen aber einen Zusammenhang zwischen n und x, nämlich <math>x=\frac{450}{n}</math> oder <math>n=\frac{450}{x}</math>. Setzt man die letzte Gleichung für n in die Gleichung <math>450 = (n-5)(x+1)</math> ein, so erhält man <math>450 = (\frac{450}{x}-5)(x+1)</math>.
 +
Die Gleichung <math>450 = (\frac{450}{x}-5)(x+1)</math> kann man in eine quadratische Gleichung umwandeln, indem man sie mit <math>x</math> multipliziert (und dabei auf der rechten Seite die erste Klammer als <math>\frac{450-5x}{x}</math> schreibt, dann fällt nämlich beim Multiplizieren mit x der Nenner weg.)<br>
 +
<math>450x=(450-5x)(x+1)</math> <br>
 +
<math>450x=450x+450-5x^2-5x</math><br>
 +
<math>0=450-5x^2-5x |\cdot -\frac{1}{5}</math><br>
 +
<math>x^2+x-90=0</math> mit den zwei Lösungen <math>x_1=-10, x_2=9</math>. <br>
 +
Also war ursprünglich geplant, dass 50 Mitfahrer jeweils 9€ zahlen. Nun sind es 45 Mitfahrer und jeder zahlt 10€. }}

Version vom 23. Januar 2021, 17:51 Uhr

Bruchgleichungen

Bei den Bruchgleichungen der 8. Klasse hast du schon Gleichungen wie \frac{x}{x+1}=x gelöst. Als Lösung hast du x=0 erhalten. Das konntest du lösen. Aber bei einer Gleichung wie \frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1} mit der Definitionsmenge D = R\{-1;0;1} gab es schon Probleme. Wie löse ich dies?
Wenn du die Bruchgleilchung \frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1} mit dem Produkt der Nenner (x2-x)(x2-1) multiplizierst, dann erhältst du:
\frac{6(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-x}=\frac{5(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-1} und gekürzt:
6(x^2-1)=5(x^2-x)
Man kann nun zusammenfassen und vereinfachen: 6x^2-6 = 5x^2 -5x --> x^2 - 6 = -5x --> x^2+5x-6=0 das ist eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Bestimme für die Bruchgleichung \frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1} die Definitionsmenge und ermittle dann die Lösungsmenge L.

[Lösung anzeigen]


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Buch S. 76 / 6

[Lösung anzeigen]

Anwendungsaufgaben

Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Knobelaufgabe S. 76 / 9
Dreiecksaufgabe S. 76 / 11
Busfahrt S. 77 / 14

[Lösung anzeigen]

Von „http://rsg.zum.de/index.php?title=M9_Anwendungen_und_Aufgaben_zu_quadratischen_Gleichungen&oldid=11052“