Version vom 3. Februar 2021, 18:08 Uhr

Extremwertaufgaben

Einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 6cm wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass eine Rechteckseite l auf einer Dreieckseite liegt und die anderen Eckpunkte des Rechtecks auf den beiden anderen Dreieckseiten liegen. Im folgenden Applet ist die Situation dargestellt. Die Rechteckseite l liegt auf der Dreieckseite [AB].

Den Punkt E kann man auf der Dreieckseite [AB] bewegen. Dadurch ändert sich das Rechteck der Aufgabe. Über dem Wert der Rechteckseite l wird der Flächeninhalt $A_R$ des Rechtecks aufgetragen. Dies ergibt im Applet den Punkt $A_R$ . Wenn man die Lage des Punktes E ändert, ändert sich auch die Rechteckfläche und der Punkt $A_R$ wandert. Der Punkt $A_R$ hat die Koordinaten $A_R(l;A_R(l))$
Das Rechteck hat Flächeninhalt 0, wenn l = 0 oder l = 6 ist. Gibt es ein Rechteck mit größtem Flächeninhalt?

Für den Punkt $A_R$ im Applet kann man die Spur anzeigen, die sich ergibt, wenn E bewegt wird. Man sieht, dass die Spur eine Parabel ergibt, deren Scheitel bei l = 3 liegt. Man kann auch den Wert von $A_R$ zu $A_R(3)=7,8$ ablesen.
Da der Flächeninhalt $A_R$ des einbeschriebenen Rechtecks von der Seitenlänge l abhängt, kann man eine Funktion $A_R :l \rightarrow A_R(l)$ angeben, die für jeden Wert von $l \in [0;6]$ den Wert $A_R(l)$ angibt. Für diese Funktion gilt es nun den Funktionsterm zu bestimmen.
Der Punkt E kann vom Ursprung bis zum Mittelpunkt der Dreiecksseite [AB] gehen. Seine Koordinaten sind daher $E(3-\frac{l}{2};0)$ .
Die Dreiecksseite [AC] ist Teil einer Gerade, deren Geradengleichung y = mx + t wir bestimmen wollen. Da sie durch den Ursprung geht ist t = 0. Also müssen wir noch die Steigung m der Geraden bestimmen. Da das Dreieck ABC ein gleichseitiges Dreieck ist, wissen wir seit wir den Satz des Pythagoras kennen, dass die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a $h=\frac{a}{2}\sqrt 3$ ist.

Die Steigung m ist dann $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{a}{2}\sqrt 3}{\frac{a}{2}}=\sqrt 3$
Die Gerade hat also die Gleichung $y = \sqrt 3 \cdot x$ .
Damit können wir zur Länge l des Rechtecks nun die Breite b angeben. b geht von E senkrecht nach oben bis zur Dreiecksseite [AC]. b hat also den Wert $b=\sqrt 3 \cdot x$ , wobei hier x die x-Koordinate des Punktes E ist, für die sich oben $x = 3 - \frac{l}{2}$ ergeben hat.

Die Rechtecksfläche ist dann $A = l \cdot b$ . Nun ist $x = 3 - \frac{l}{2}$ und damit $b = \sqrt 3 \cdot (3-\frac{l}{2})$ und damit $A = l \cdot \sqrt 3 \cdot (3-\frac{l}{2})=\sqrt 2 \cdot (3l-\frac{l^2}{2})=\frac{\sqrt 3}{2}(6l-l^2)$ . Dies ist die Gleichung einer nach unten geöffneten Parabel, die ihre größten Wert im Scheitel annimmt.
Die Nullstellen des Terms $\frac{\sqrt 3}{2}(6l-l^2)=\frac{\sqrt 3}{2}\cdot l \cdot (6-l)$ sind $l=0$ und $l =6$ . Das hatten wir uns schon oben überlegt.
Der Scheitel der Parabel liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, also hier bei x = 3 und der Flächeninhalt des größten Rechtecks ergibt sich zu $A_R(3)=\frac{\sqrt 3}{2}(6\cdot 3-3^2)=4,5 \cdot \sqrt 3 \approx 7,794$ .

Merke:

Kennt man die Nullstellen x₁ und x₂ einer Parabel mit der Gleichung y = ax² + bx + c, dann liegt ihr Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen.
Die x-Koordinate des Scheitels ist x_S=0,5(x₁ + x₂).
Die y-Koordinate des Scheitels y_S erhält man, indem man x_S in die Parabelgleichung einsetzt.

Aufgabe 1

Buch S. 92 / 3

@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 Die Dreiecksseite [AC] ist Teil einer Gerade, deren Geradengleichung y = mx + t wir bestimmen wollen. Da sie durch den Ursprung geht ist t = 0. Also müssen wir noch die Steigung m der Geraden bestimmen. Da das Dreieck ABC ein gleichseitiges Dreieck ist, wissen wir seit wir den Satz des Pythagoras kennen, dass die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a <math>h=\frac{a}{2}\sqrt 3</math> ist.
 <center>[[Datei:GleichseitigesDreieck.jpg]]</center>
-Die Steigung m ist dann <math>m=\frac{\frac{a}{2}\sqrt 3}{\frac{a}{2}}=\sqrt 3</math><br>
+Die Steigung m ist dann <math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{a}{2}\sqrt 3}{\frac{a}{2}}=\sqrt 3</math><br>
-Die Gerade hat also die Gleichung <math>y = \sqrt 3 x</math>.<br>
+Die Gerade hat also die Gleichung <math>y = \sqrt 3 \cdot x</math>.<br>
+Damit können wir zur Länge l des Rechtecks nun die Breite b angeben. b geht von E senkrecht nach oben bis zur Dreiecksseite [AC]. b hat also den Wert <math>b=\sqrt 3 \cdot x</math>, wobei hier x die x-Koordinate des Punktes E ist, für die sich oben  <math>x = 3 - \frac{l}{2}</math> ergeben hat.<br>
+Die Rechtecksfläche ist dann <math>A = l \cdot b</math>. Nun ist <math>x = 3 - \frac{l}{2}</math> und damit <math>b = \sqrt 3 \cdot (3-\frac{l}{2})</math> und damit <math>A = l \cdot \sqrt 3 \cdot (3-\frac{l}{2})=\sqrt 2 \cdot (3l-\frac{l^2}{2})=\frac{\sqrt 3}{2}(6l-l^2)</math>. Dies ist die Gleichung einer nach unten geöffneten Parabel, die ihre größten Wert im Scheitel annimmt.<br>
+Die Nullstellen des Terms <math>\frac{\sqrt 3}{2}(6l-l^2)=\frac{\sqrt 3}{2}\cdot l \cdot (6-l)</math> sind <math>l=0</math> und <math> l =6</math>. Das hatten wir uns schon oben überlegt.<br>
+Der Scheitel der Parabel liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, also hier bei x = 3 und der Flächeninhalt des größten Rechtecks ergibt sich zu <math>A_R(3)=\frac{\sqrt 3}{2}(6\cdot 3-3^2)=4,5 \cdot \sqrt 3 \approx 7,794</math>.
+{{Merksatz|MERK=Kennt man die Nullstellen x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub> einer Parabel mit der Gleichung y = ax<sup>2</sup> + bx + c, dann liegt ihr Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. <br>
+Die x-Koordinate des Scheitels ist x<sub>S</sub>=0,5(x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub>).<br>
+Die y-Koordinate des Scheitels y<sub>S</sub> erhält man, indem man x<sub>S</sub> in die Parabelgleichung einsetzt.}}
+{{Aufgaben-blau|1|2=Buch S. 92 / 3   }}

M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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