M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 4. Februar 2021, 15:06 Uhr
Extremwertaufgaben
Einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 6cm wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass eine Rechteckseite l auf einer Dreieckseite liegt und die anderen Eckpunkte des Rechtecks auf den beiden anderen Dreieckseiten liegen. Im folgenden Applet ist die Situation dargestellt. Die Rechteckseite l liegt auf der Dreieckseite [AB].
Den Punkt E kann man auf der Dreieckseite [AB] bewegen. Dadurch ändert sich das Rechteck der Aufgabe. Über dem Wert der Rechteckseite l wird der Flächeninhalt des Rechtecks aufgetragen. Dies ergibt im Applet den Punkt
. Wenn man die Lage des Punktes E ändert, ändert sich auch die Rechteckfläche und der Punkt
wandert. Der Punkt
hat die Koordinaten
Das Rechteck hat Flächeninhalt 0, wenn l = 0 oder l = 6 ist. Gibt es ein Rechteck mit größtem Flächeninhalt?
Für den Punkt im Applet kann man die Spur anzeigen, die sich ergibt, wenn E bewegt wird. Man sieht, dass die Spur eine Parabel ergibt, deren Scheitel bei l = 3 liegt. Man kann auch den Wert von
zu
ablesen.
Da der Flächeninhalt des einbeschriebenen Rechtecks von der Seitenlänge l abhängt, kann man eine Funktion
angeben, die für jeden Wert von
den Wert
angibt. Für diese Funktion gilt es nun den Funktionsterm zu bestimmen.
Der Punkt E kann vom Ursprung bis zum Mittelpunkt der Dreiecksseite [AB] gehen. Seine Koordinaten sind daher .
Die Dreiecksseite [AC] ist Teil einer Gerade, deren Geradengleichung y = mx + t wir bestimmen wollen. Da sie durch den Ursprung geht ist t = 0. Also müssen wir noch die Steigung m der Geraden bestimmen. Da das Dreieck ABC ein gleichseitiges Dreieck ist, wissen wir seit wir den Satz des Pythagoras kennen, dass die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a ist.
![GleichseitigesDreieck.jpg](/images/2/26/GleichseitigesDreieck.jpg)
Die Steigung m ist dann
Die Gerade hat also die Gleichung .
Damit können wir zur Länge l des Rechtecks nun die Breite b angeben. b geht von E senkrecht nach oben bis zur Dreiecksseite [AC]. b hat also den Wert , wobei hier x die x-Koordinate des Punktes E ist, für die sich oben
ergeben hat.
Die Rechtecksfläche ist dann . Nun ist
und damit
und damit
. Dies ist die Gleichung einer nach unten geöffneten Parabel, die ihre größten Wert im Scheitel annimmt.
Die Nullstellen des Terms sind
und
. Das hatten wir uns schon oben überlegt.
Der Scheitel der Parabel liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, also hier bei x = 3 und der Flächeninhalt des größten Rechtecks ergibt sich zu .
Merke:
Kennt man die Nullstellen x1 und x2 einer Parabel mit der Gleichung y = ax2 + bx + c, dann liegt ihr Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. |
Wenn man den Punkt auf der schrägen Strecke bewegt, sieht man wie sich das Rechteck ändert. Die Fläche des Rechtecks wird angezeigt und man stellt fest, dass der Flächeninhalt A des Rechtsecks am größten ist, wenn x = 85 ist und es ist A = 3400cm2.
Der obere, rechte Eckpunkt bewegt sich auf einer Geraden mit der Gleichung .
x kann nur Werte von 60 bis 85 annehmen, also
.
Der Flächeninhalt A ist . Der Funktionsterm ist der Term einer Gleichung einer nach unten geöffneten Parabel.
![-\frac{2}{5}x^2+74x=\frac{2}{5}x(-x+185)](/images/math/c/f/2/cf29e4c90b5c34b3a70e308a70179df8.png)
![\frac{2}{5}x(-x+185)=0](/images/math/b/8/5/b85d923030ed8864623f85d3a9fe883d.png)
![x_1=0](/images/math/5/e/c/5eccc06daf81c6fe5892b4075b3a0e32.png)
![x_2=185](/images/math/8/6/3/8634d7b049c6bfc8cb8de0bea629bb8f.png)
![x_1=0](/images/math/5/e/c/5eccc06daf81c6fe5892b4075b3a0e32.png)
![x_2=185](/images/math/8/6/3/8634d7b049c6bfc8cb8de0bea629bb8f.png)
![x_S=\frac{1}{2}(x_1+x_2)=92,5](/images/math/b/d/2/bd28695e2ea7db63b4b51f25bf394440.png)
Eine Parabel ist achsensymmetrisch zu einer senkrechten Geraden durch ihren Scheitel. |