Version vom 18. Februar 2021, 10:22 Uhr

Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen

Merke

Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen findet man, indem man die Funktionsterme gleichsetzt und die Gleichung nach x auflöst.

Aufgabe 1

Gemeinsame Punkte einer Parabel mit einer Geraden: Buch S. 100 / 4

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $x^2 = -x+2$ liefert eine quadratische Gleichung $x^2 + x -2 = 0$ . Die Gleichung lässt sich in Linearfaktoren zerlegen $(x+2)(x-1)=0$ mit den zwei Lösungen $x_1 = -2, x_2 = 1$ .
Die gemeinsamen Punkte erhält man indem man die Lösungen in die Geradengleichung einsetzt, sie sind R(-2;4) und T(1;1). (Man könnte die Lösungen auch in den quadratischen Term einsetzen, es müssen die gleichen y-Werte herauskommen.) Die Länge der Strecke [RT] ist $\bar {RT}=\sqrt {(4-1)^2 + (-2-1)^2}=3\sqrt 2$ .

b) $2x^2-2=6$ liefert $x^2=4$ mit den Lösungen $x_1=-2, x_2=2$ .
R(-2;6), T(2;6) und $\bar {RT}=4$

c) $-x^2 - 9 = -2x -7$ liefert $x^2 - 2x +2 = 0$ . Die Diskriminante D dieser Gleichung ist D = (-2)² - 4·2 = 4 - 8 = -4 < 0. Also hat die Gleichung keine Lösung und die Graphen keine gemeinsamen Punkte.

d) $4x^2 + x = 1,5x$ liefert $4x^2 - 0,5x = 0$ . Man kann 4x ausklammern: $4x(x - \frac{1}{8})=0$ hat die zwei Löungen $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{8}$ .
$r(0;0), T(\frac{1}{8};{3}{16}$ und die Streckenlänge $\bar {RT}=\sqrt {\frac{3}{16}^2 + \frac{1}{8}^2}=\frac{13}{256} \approx 0,05$

e) $\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}=2-x$ liefert $\frac{1}{3}x^2 + x - \frac{4}{3}=0$ . Die linke Seite lässt sich umformen in $\frac{1}{3}x^2 + x - \frac{4}{3}=\frac{1}{3}(x^2 + 3x -4)=\frac{1}{3}(x +4)8x-1)$ und man löst die Gleichung $\frac{1}{3}(x +4)8x-1)=0$ mit den zwei Lösungen $x_1=-4, x_2=1$
R(-4;-6) und T(1;1). Die Streckenlänge ist $\bar {RT}=\sqrt {5^2+5^2}=5\sqrt 2 \approx 7,07$ .

f) $\frac{1}{2}(x-1)^2 - 1= -0,5x + 2,5$ Multipliziert man die Gleichung mit 2, dann fällt der Bruch $\frac{1}{2}$ weg und man hat $(x^2-2x+1)-2=-x + 5$ . Diese Gleichung auf die Form einer quadratischen Gleichung gebracht ergibt $x^2 - x - 6 = 0$ mit den Lösungen $x_=-2, x_2 = 3$

r(-2;3,5) und T(3;1), $\bar {RT}=\sqrt {5^2+2,5^2}=\sqrt{31,25}=\sqrt{\frac{125}{4}}=\frac{5}{2}\sqrt 5 \approx 5,6$

Aufgabe 2

Gemeinsame Punkte zweier Parabeln: Buch S. 100 / 7

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a)Die beiden Parabeln haben gemeinsame Punkte, da P₂ schlanker als P₁ ist und ihren Scheitel unterhalb vom Scheitel von P₁ hat.
b) P₁ ist nach oben geöffnet und P₂ ist nach unten geöffnet und P₂ hat ihren Scheitel oberhalb des Scheitels von P₁, also müssen sich die beiden Parabeln schneiden.
c) P₁ hat ihren Scheitel bei (0;0) und ist die Normalparabel, also nach oben geöffnet. P₂ hat ihren Scheitel bei (2;-4) und ist nach unten geöffnet. Die beiden Parabeln können sich nicht schneiden.
d) P₁ hat ihren Scheitel bei (1;0) und ist nach oben geöffnet, P₂ bei (-1;0) und ist nachunten geöffnet. Da beide Scheitel den gleichen y-Wert 0 haben und verschiedene x-Werte, können sich die beiden Parabeln nicht schneiden.
e) P₁ ist die Normalparabel, P₂ ist eine schlankere Parabel mit Scheitel (0;1) und beide sind nach oben geöffnet, also können sie sich nicht schneiden.
f) P₁ ist einen nach unten geöffnete weite Parabel mit Scheitel (0;1), P₂ ist nach oben geöffnet mit Scheitel (0;-4). Wegen -4 < 0 schneiden sich die beiden Parabeln.

Rechnungen für a, b, f
a) $x^2 = 2x^2 -4$ liefert $x^2=4$ mit den zwei Lösungen $x_1=-2, x_2=2$
Die Schnittpunkte R(-2;4) und T(2;4) bilden mit den Scheiteln (0;0) und (0;-4) ein Viereck mit einer Symmetrieachse.

b) $x^2 = -x^2 + 4$ liefert $x^2 = 2$ mit den zwei Lösungen $x_1=-\sqrt 2, x_2 = \sqrt 2$ .
Die Schnittpunkte $R(-\sqrt 2 , 2), T(\sqrt 2 , 2)$ bilden mit den zwei Scheiteln (0;0) und (0;4) ein Quadrat mit 4 Symmetrieachsen. Die Seitenlänge des Quadrats ist $s = 2\sqrt 2$ , sein Flächeninhalt $A = 8$ .

f) $-\frac{1}{4} x^2 + 1 = x^2 - 4$ liefert $x^2 =4$ mit den zwei Lösungen $x_1= -2, x_2 = 2$ .

Die Schnittpunkte R(-2,0), T(2,0) bilden mit den zwei Scheiteln (0;1) und (0;-4) ein Drachenviereck mit einer Symmetrieachse.

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
+=Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen=
+{{Merke|1=Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen findet man, indem man die Funktionsterme gleichsetzt und die Gleichung nach x auflöst. }}
+{{Aufgaben-blau|1|2=Gemeinsame Punkte einer Parabel mit einer Geraden: Buch S. 100 / 4  }}
+{{Lösung versteckt|1=a) <math>x^2 = -x+2</math> liefert eine quadratische Gleichung <math>x^2 + x -2 = 0</math>. Die Gleichung lässt sich in Linearfaktoren zerlegen <math>(x+2)(x-1)=0</math> mit den zwei Lösungen <math>x_1 = -2, x_2 = 1</math>. <br>
+Die gemeinsamen Punkte erhält man indem man die Lösungen in die Geradengleichung einsetzt, sie sind R(-2;4) und T(1;1). (Man könnte die Lösungen auch in den quadratischen Term einsetzen, es müssen die gleichen y-Werte herauskommen.) Die Länge der Strecke [RT] ist <math>\bar {RT}=\sqrt {(4-1)^2 + (-2-1)^2}=3\sqrt 2</math>.
+b)  <math>2x^2-2=6</math> liefert <math>x^2=4</math> mit den Lösungen <math>x_1=-2, x_2=2</math>. <br>
+R(-2;6), T(2;6) und <math>\bar {RT}=4</math>
+c) <math>-x^2 - 9 = -2x -7</math> liefert <math> x^2 - 2x +2 = 0</math>. Die Diskriminante D dieser Gleichung ist D = (-2)<sup>2</sup> - 4·2 = 4 - 8 = -4 < 0. Also hat die Gleichung keine Lösung und die Graphen keine gemeinsamen Punkte.
+d) <math> 4x^2 + x = 1,5x</math> liefert <math> 4x^2 - 0,5x = 0</math>. Man kann 4x ausklammern: <math> 4x(x - \frac{1}{8})=0</math>
+hat die zwei Löungen <math>x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{8}</math>. <br>
+<math>r(0;0), T(\frac{1}{8};{3}{16}</math> und die Streckenlänge <math>\bar {RT}=\sqrt {\frac{3}{16}^2 + \frac{1}{8}^2}=\frac{13}{256}   \approx 0,05</math>
+e) <math>\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}=2-x</math> liefert <math>\frac{1}{3}x^2 + x - \frac{4}{3}=0</math>. Die linke Seite lässt sich umformen in <math>\frac{1}{3}x^2 + x - \frac{4}{3}=\frac{1}{3}(x^2 + 3x -4)=\frac{1}{3}(x +4)8x-1)</math> und man löst die Gleichung <math>\frac{1}{3}(x +4)8x-1)=0</math> mit den zwei Lösungen <math>x_1=-4, x_2=1</math><br>
+R(-4;-6) und T(1;1). Die Streckenlänge ist <math>\bar {RT}=\sqrt {5^2+5^2}=5\sqrt 2 \approx 7,07</math>.
+f) <math> \frac{1}{2}(x-1)^2 - 1= -0,5x + 2,5</math> Multipliziert man die Gleichung mit 2, dann fällt der Bruch <math>\frac{1}{2}</math> weg und man hat <math>(x^2-2x+1)-2=-x + 5</math>. Diese Gleichung auf die Form einer quadratischen Gleichung gebracht ergibt <math>x^2 - x - 6 = 0</math> mit den Lösungen <math>x_=-2, x_2 = 3</math><br>
+r(-2;3,5) und T(3;1), <math>\bar {RT}=\sqrt {5^2+2,5^2}=\sqrt{31,25}=\sqrt{\frac{125}{4}}=\frac{5}{2}\sqrt 5 \approx 5,6</math> }}
+{{Aufgaben-blau|2|2=Gemeinsame Punkte zweier Parabeln: Buch S. 100 / 7  }}
+{{Lösung versteckt|1=a)Die beiden Parabeln haben gemeinsame Punkte, da P<sub>2</sub> schlanker als P<sub>1</sub> ist und ihren Scheitel unterhalb vom Scheitel von P<sub>1</sub> hat.<br>
+b) P<sub>1</sub> ist nach oben geöffnet und P<sub>2</sub> ist nach unten geöffnet und P<sub>2</sub> hat ihren Scheitel oberhalb des Scheitels von P<sub>1</sub>, also müssen sich die beiden Parabeln schneiden.<br>
+c) P<sub>1</sub> hat ihren Scheitel bei (0;0) und ist die Normalparabel, also nach oben geöffnet. P<sub>2</sub> hat ihren Scheitel bei (2;-4) und ist nach unten geöffnet. Die beiden Parabeln können sich nicht schneiden.<br>
+d) P<sub>1</sub> hat ihren Scheitel bei (1;0) und ist nach oben geöffnet, P<sub>2</sub> bei (-1;0) und ist nachunten geöffnet. Da beide Scheitel den gleichen y-Wert 0 haben und verschiedene x-Werte, können sich die beiden Parabeln nicht schneiden.<br>
+e) P<sub>1</sub> ist die Normalparabel, P<sub>2</sub> ist eine schlankere Parabel mit Scheitel (0;1) und beide sind nach oben geöffnet, also können sie sich nicht schneiden.<br>
+f) P<sub>1</sub> ist einen nach unten geöffnete weite Parabel mit Scheitel (0;1), P<sub>2</sub> ist nach oben geöffnet mit Scheitel (0;-4). Wegen -4 < 0 schneiden sich die beiden Parabeln.
+Rechnungen für a, b, f<br>
+a)<math>x^2 = 2x^2 -4</math> liefert <math>x^2=4</math> mit den zwei Lösungen <math>x_1=-2, x_2=2</math><br>
+Die Schnittpunkte R(-2;4) und T(2;4) bilden mit den Scheiteln (0;0) und (0;-4) ein Viereck mit einer Symmetrieachse.
+b) <math>x^2 = -x^2 + 4</math> liefert <math>x^2 = 2</math> mit den zwei Lösungen <math>x_1=-\sqrt 2, x_2 = \sqrt 2</math>. <br>
+Die Schnittpunkte <math>R(-\sqrt 2 , 2), T(\sqrt 2 , 2)</math> bilden mit den zwei Scheiteln (0;0) und (0;4) ein Quadrat mit 4 Symmetrieachsen. Die Seitenlänge des Quadrats ist <math>s = 2\sqrt 2</math>, sein Flächeninhalt <math>A = 8</math>.
+f) <math>-\frac{1}{4} x^2 + 1 = x^2 - 4</math> liefert <math>x^2 =4</math> mit den zwei Lösungen <math>x_1= -2, x_2 = 2</math>.<br>
+Die Schnittpunkte R(-2,0), T(2,0) bilden mit den zwei Scheiteln (0;1) und (0;-4) ein Drachenviereck mit einer Symmetrieachse.  }}

M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 18. Februar 2021, 10:22 Uhr

Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen

Navigationsmenü

Meine Werkzeuge

Namensräume

Varianten

Ansichten

Aktionen

Suche

Navigation

Fächer

Hilfen

Werkzeuge