M11 Ableitung der trigonometrischen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | {{Merksatz|MERK=Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Es ist (sin x)' = cos x . }} | + | {{Merksatz|MERK=Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Es ist <math>(sin (x))' = cos (x) </math>. }} |
Im Buch ist auf S. 137 unter 2. die Herleitung über die Definition der Ableitung nachzusehen | Im Buch ist auf S. 137 unter 2. die Herleitung über die Definition der Ableitung nachzusehen | ||
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| − | {{Merksatz|MERK=Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion. Es ist (cos x)' = - sin x . }} | + | {{Merksatz|MERK=Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion. Es ist <math>(cos (x))' = - sin (x) </math>. }} |
Man erhält die Ableitung der Kosinusfunktion auch mit Hilfe der Kettenregel. Es ist <math> cos(x)=sin(\frac{\pi}{2}-x)</math> und <math> sin(x)=cos(\frac{\pi}{2}-x)</math>. Damit ist die Ableitung <math>(cos(x))'=(\left ( sin(\frac{\pi}{2}-x) \right)' =cos(\frac{\pi}{2}-x) \cdot (-1)= - cos(\frac{\pi}{2}-x)=- sin(x)</math> | Man erhält die Ableitung der Kosinusfunktion auch mit Hilfe der Kettenregel. Es ist <math> cos(x)=sin(\frac{\pi}{2}-x)</math> und <math> sin(x)=cos(\frac{\pi}{2}-x)</math>. Damit ist die Ableitung <math>(cos(x))'=(\left ( sin(\frac{\pi}{2}-x) \right)' =cos(\frac{\pi}{2}-x) \cdot (-1)= - cos(\frac{\pi}{2}-x)=- sin(x)</math> | ||
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=Die Ableitung der Tangensfunktion= | =Die Ableitung der Tangensfunktion= | ||
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| + | <math>sin(-x) = - sin(x)</math> und <math>cos(-x) = cos(x)</math> | ||
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| + | <math> sin(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x)</math> und <math>cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x)</math> | ||
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| + | {{Lösung versteckt|1=a) y' = - sin(x-3)<br> | ||
| + | b) y' = cos(x<sup>2</sup>)· 2x = 2x cos(x<sup>2</sup>)<br> | ||
| + | c) y' = cos(x) · cos(x) + sin(x) · (-cos(x)) = (cos(x))<sup>2</sup> - (sin(x))<sup>2</sup><br> | ||
| + | d) y' = 2 sin(x) · cos(x) (nachdifferenzieren!)<br> | ||
| + | e) y' = 2 cos(x) · ( - sin(x)) = - 2 sin(x)·cos(x)<br> | ||
| + | f) y' = - a· sin(ax + b)<br> | ||
| + | g) y' = 2x · sin(x) + x<sup>2</sup> · cos(x)<br> | ||
| + | h) Es ist 1 - (sin x)<sup>2</sup> = (cos x)<sup>2</sup>. Daher ist y' = ((cos x)<sup>4</sup>)' = 4·(cos x)<sup>3</sup>· ( - sin x) = - 4 sin x · (cos x)<sup>3</sup>.<br> | ||
| + | i) y' = 0<br> | ||
| + | j) <math>y' = 3x^2 + 2x\cdot sin(\frac{3}{2}\pi) + cos(\pi)=3x^2 - 2x -1</math><br> | ||
| + | k) <math>y' = \frac{-sin(x) sin(x) - cos(x)cos(x)}{(sin(x))^2}= \frac{-1}{(sin(x))^2}</math><br> | ||
| + | l) y' = 2[1- sin(2x)] · [ - 2 cos(2x)] oder y = (cos(2x))<sup>2</sup> und y' = 2·cos(2x)·(-2sin(x))<br> | ||
| + | m) y' = 0<br> | ||
| + | n) <math>y' = \frac{sin(x) - x \cdot cos(x)}{(sin(x))^2}</math><br> | ||
| + | o) <math>y' = -sin(\frac{1}{x})\cdot (-\frac{1}{x^2})=\frac{sin(\frac{1}{x})}{x^2}</math><br> | ||
| + | p) <math>y' = cos(\frac{\pi}{3}x)\cdot \frac{\pi}{3}</math><br> | ||
| + | q) <math>y' = \frac{1}{(cos(x))^2}</math> }} | ||
Version vom 4. März 2021, 12:06 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Die Ableitung der Sinusfunktion
In dem folgenden Applet wird zu jedem Punkt P auf dem Graph der Sinusfunktion 
über der x-Koordinate von P die Steigung der Tangente aufgetragen. Bewegt man P auf dem Graphen, dann wird die Spur von A angezeigt.
 Merke:
Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Es ist |
.
Im Buch ist auf S. 137 unter 2. die Herleitung über die Definition der Ableitung nachzusehen
Die Ableitung der Kosinusfunktion
| Merke:
Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion. Es ist |
.
Man erhält die Ableitung der Kosinusfunktion auch mit Hilfe der Kettenregel. Es ist 
und 
. Damit ist die Ableitung 
Die Ableitung der Tangensfunktion
Man weiß 
. Mit der Quotientenregel kann man 
ableiten. Es ist 
| Merke:
Die Ableitung der Tangensfunktion ist |
.
Stammfunktionen
| Merke:
Die Menge aller Stammfunktionen F der
|
ist 
Die Stammfunktionen weist man nach, indem man sie ableitet:
-
.
Aufgaben
 Merke
Zur Wiederholung:
|
und 
a) y' = - sin(x-3)
b) y' = cos(x2)· 2x = 2x cos(x2)
c) y' = cos(x) · cos(x) + sin(x) · (-cos(x)) = (cos(x))2 - (sin(x))2
d) y' = 2 sin(x) · cos(x) (nachdifferenzieren!)
e) y' = 2 cos(x) · ( - sin(x)) = - 2 sin(x)·cos(x)
f) y' = - a· sin(ax + b)
g) y' = 2x · sin(x) + x2 · cos(x)
h) Es ist 1 - (sin x)2 = (cos x)2. Daher ist y' = ((cos x)4)' = 4·(cos x)3· ( - sin x) = - 4 sin x · (cos x)3.
i) y' = 0
j) 
k) 
l) y' = 2[1- sin(2x)] · [ - 2 cos(2x)] oder y = (cos(2x))2 und y' = 2·cos(2x)·(-2sin(x))
m) y' = 0
n) 
o) 
p) 
