M11 Die Ableitung der Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Aufgaben-blau|2|2=1. Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> zur Funktion <math>f:x \to x^5-1</math> mit D = R.
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2. Bestimmen Sie allgemein <br>
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a) die Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math>zur Potenzfunktion <math>f : x \to x^n</math> mit n <math>\in</math> N, D = <math>R_0^+</math>. <br>
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b) die Ableitungsfunktion der Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math>. }}
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{{Lösung versteckt|1=In D = R ist <math>f</math> streng monoton steigend, also umkehrbar. <br>
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* In der Funktionsgleichung <math>y = x^5 -1</math> werden x und y vertauscht:<br>
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* Die Gleichung <math>x = y^5 -1</math> wird nach y aufgelöst:<br>
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Es ist <math>f'(x) = 5x^4</math>.<br>
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Damit erhält man <math>f^{-1'}(x)= \frac{1}{5(f^{-1}(x))^4} = \frac{1}{5 \cdot (\sqrt [5]{x+1})^4} = \frac{1}{5\cdot (x+1)^{\frac{4}{5}}}=\frac{1}{5}\cdot (x+1)^{-\frac{4}{5}}</math>, das ist der Term, den man auch mit der Potenzregel erhält.
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2. a) Die Definitionsmenge der Funktion f ist bereits so, dass f dort streng monoton ist. <br>
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Die Umkehrung des Potenzierens ist das Wurzelziehen, also ist die Umkehrfunktion eine Wurzelfunktion. <br>
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* In der Funktionsgleichung y = f(x) werdem x und y vertauscht:<br>
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<center><math>x = y^n</math></center>  <br>
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* Die Gleichung <math>x = y^n</math>  nach y auflösen ergibt <math>y = \sqrt [n]{x}</math><br>
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Also ist die Umkehrfunktion <math>f^{-1}:x \to \sqrt [n]{x}</math> mit n <math>\in</math> N, D = <math>R_0^+</math>.
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Die Ableitung erhält man mit <math>f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>.<br>
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b) Die Ableitung der Umkehrfunktion  <math>f^{-1}</math> erhält man durch <math>f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>.<br>
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Also muss man zuerst <math>f</math> ableiten. Es ist <math>f'(x)=n\cdot x^{n-1}</math>.<br>
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Hiervon muss man den Kehrwert bilden <math>\frac{1}{n\cdot x^{n-1}}</math> und statt x setzt man <math>f^{-1}(x)</math> ein. Mit <math> f^{-1}(x) = \sqrt [n]{x}</math> erhält man<br>
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<math>f^{-1'}(x)=\frac{1}{n \cdot (\sqrt [n]{x})^{n-1} } = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{x^{\frac{n-1}{n}}}</math>
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Jetzt weiß man vom Ableiten von Potenzen, dass <math>(x^{\frac{1}{n}})' =\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1}</math> ist. Den Exponent von x kann man umformen <math>\frac{1}{n} - 1 = \frac{1-n}{n}=-\frac{n-1}{n}</math> und das ist der Exponent von x in <math>f^{-1'}</math>.  }}

Version vom 18. März 2021, 10:45 Uhr

Wiederholung

Die Funktion f:x \to f(x) hat die Umkehrfunktion f^{-1}.

In der 9. Klasse hatte man die Quadratfunktion f: x \to x^2 mit D = R. Die Umkehrung des Quadrierens ist das Wurzelziehen und man hatte die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Quadratfunktion. Die Wurzelfunktion ist f^{-1}:x \to \sqrt x mit D = R_0^+.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

Bearbeiten Sie die Seiten zur Umkehrfunktion.

Maehnrot.jpg
Merke:

Eine Funktion f ist im Intervall [a;b] umkehrbar, wenn f in dem Intervall [a;b] streng monoton ist.

Die strenge Monotonie erhält man mit Hilfe der Ableitung von f.

Nuvola apps kig.png   Merke

Die Umkehrfunktion f^{-1} zu einer Funktion f findet man immer mit diesen Schritten:

1. Schränke die Definitionsmenge von f so ein, dass f streng monoton ist.

2. Löse die Funktionsgleichung y = f(x) nach x auf.

3. Vertausche x und y.

4. Die Definitionsmenge der eingeschränkten Funktion f ist die Wertemenge der Umkehrfunktion f^{-1} und die Wertemenge von f ist die Definitionsmenge von f^{-1}.

Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion f^{-1} durch Spiegelung des Graphen der Funktion f an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten.

Auf dieser Seite wird dies an Beispielen erklärt.
Hier sind auch Beispiele ohne Berücksichtigung der Definitionsmenge.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Bearbeiten Sie diese Arbeitsblätter:
Arbeitsblatt 1, Arbeitsblatt 2.

Die Ableitung der Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion f^{-1} macht die Wirkung der Funktion f rückgängig. Es ist \sqrt {x^2}= x, wenn x positiv ist. Da die Quadratfunktion beim Bilden der Umkehrfunktion auf D = R_0^+ eingeschränkt wurde. die die x positiv und die Umkehrung ist in Ordnung.
Wenn man die Verkettung f\circ f^{-1} betrachtet, dann ist f\circ f^{-1}(x) = f(f^{-1}(x))=x, da die Verkettung der beiden Funktionen ihre Wirkungen aufheben und man erhält wieder x.

Nun ist ( f\circ f^{-1}(x))' = (f(f^{-1}(x))'=1.
Ersetzt man z = f^{-1}(x), dann ist ( f\circ f^{-1}(x))' = (f(z))'=f'(z) \cdot z'. Dabei ist z'=f^{-1'}(x).
Also ist f'(z) \cdot z' = 1 und z'=\frac{1}{f'(z)}. Ersetzt man wieder z durch f^{-1}(x), dann hat man wegen z'=f^{-1'}(x) die Ableitung der Umkehrfunktion f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Ableitung der Umkehrfunktion f^{-1} der Funktion f ist f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}


Beispiele:
1. Die Quadratfunktion f:x \to x^2 hat die Umkehrfunktion f^{-1}:x\to \sqrt x (mit passenden Definitionsmengen, die hier nicht interessieren)
Dabei ist f(x) = x^2 und f^{-1}(x) = \sqrt x.
Desweiteren ist f'(x) = 2x.

Nun ist f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x)} = \frac{1}{2f^{-1}(x)}=\frac{1}{2\sqrt x}


2. Die Funktion f: x \to (x-0,5)^2 + 1,5 mit D = R ist eine quadratische Funktion, deren Graph den Scheitel bei (0,5; 1,5) hat. Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel. Die Funktion ist für x \in [0,5;\infty[ streng monton zunehmend. Die Wertemenge ist W = [1,5;\infty[
Die Umkehrfunktion erhält man, indem man die Gleichung y = (x-0,5)2 + 1,5
1. nach x auflöst.
x = \sqrt {y-1,5} + 0,5 und dann
2. x und y vertauscht
y = \sqrt {x-1,5} + 0,5
Also ist die Umkehrfunktion f^{-1}:x \to \sqrt {x-1,5} + 0,5 mit D = [1,5;\infty[ und W = [0,5;\infty[.
Der Funktionsterm der Funktion f lässt sich umformen in f(x)= x^2 - x + 1,75 und hat die Ableitung f'(x)=2x - 1.

Ist z=f^{-1}(x), dann ist die Ableitung der Umkehrfunktion f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(z)}= \frac{1}{2z-1}= \frac{1}{2(\sqrt {x-1,5} + 0,5)-1}=\frac{1}{2\sqrt {x-1,5} }



Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

1. Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion f^{-1} zur Funktion f:x \to x^5-1 mit D = R.

2. Bestimmen Sie allgemein
a) die Umkehrfunktion f^{-1}zur Potenzfunktion f : x \to x^n mit n \in N, D = R_0^+.
b) die Ableitungsfunktion der Umkehrfunktion f^{-1}.

In D = R ist f streng monoton steigend, also umkehrbar.

  • In der Funktionsgleichung y = x^5 -1 werden x und y vertauscht:
x = y^5 -1
  • Die Gleichung x = y^5 -1 wird nach y aufgelöst:

y = \sqrt [5]{x+1} und die Umkehrfunktion ist f^{-1}:x \to \sqrt [5]{x+1}

Es ist f'(x) = 5x^4.
Damit erhält man f^{-1'}(x)= \frac{1}{5(f^{-1}(x))^4} = \frac{1}{5 \cdot (\sqrt [5]{x+1})^4} = \frac{1}{5\cdot (x+1)^{\frac{4}{5}}}=\frac{1}{5}\cdot (x+1)^{-\frac{4}{5}}, das ist der Term, den man auch mit der Potenzregel erhält.


2. a) Die Definitionsmenge der Funktion f ist bereits so, dass f dort streng monoton ist.
Die Umkehrung des Potenzierens ist das Wurzelziehen, also ist die Umkehrfunktion eine Wurzelfunktion.

  • In der Funktionsgleichung y = f(x) werdem x und y vertauscht:
x = y^n

  • Die Gleichung x = y^n nach y auflösen ergibt y = \sqrt [n]{x}

Also ist die Umkehrfunktion f^{-1}:x \to \sqrt [n]{x} mit n \in N, D = R_0^+.

Die Ableitung erhält man mit f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}.

b) Die Ableitung der Umkehrfunktion f^{-1} erhält man durch f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}.
Also muss man zuerst f ableiten. Es ist f'(x)=n\cdot x^{n-1}.
Hiervon muss man den Kehrwert bilden \frac{1}{n\cdot x^{n-1}} und statt x setzt man f^{-1}(x) ein. Mit f^{-1}(x) = \sqrt [n]{x} erhält man
f^{-1'}(x)=\frac{1}{n \cdot (\sqrt [n]{x})^{n-1} } = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{x^{\frac{n-1}{n}}}

Jetzt weiß man vom Ableiten von Potenzen, dass (x^{\frac{1}{n}})' =\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1} ist. Den Exponent von x kann man umformen \frac{1}{n} - 1 = \frac{1-n}{n}=-\frac{n-1}{n} und das ist der Exponent von x in f^{-1'}.
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