M11 Ableitung der Logarithmusfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 19. März 2021, 17:25 Uhr
Die Ableitung der ln-Funktion erhält man aus der Tatsache, dass die ln-Funktion Umkehrfunktion zur e-Funktion ist. Für ist die Umkehrfunktion. Damit ist . Für die Ableitung gilt hier ( und mittels der Kettenregel erhält man
. Dies führt wieder zur Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion .
Die Ableitung der e-Funktion ist .
Damit erhält man für die Umkehrfunktion als Ableitung:
.
Also ist die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion .
Im folgenden Applet kann man diese Aussage über die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion verifizieren. Über dem x-Wert des Punktes auf dem Graphen der ln-Funktion wird die Steigung der Tangente in dem Punkt an den Graphen angetragen. Dieser Punkt liegt auf der Hypberbel .
Merke:
Die Ableitung von ist |
Zur Wiederholung: Die Rechengesetze des Logarithmus Produkt: Wurzel: Basisumrechnung: Und hier viele Beispiele und Aufgaben. |
Mit der Kettenregel erhält man
a)
Oder mit den Rechengesetzen des Logarithmus ist f(x) = ln(4) + ln(x) und die Ableitung ist
b) Es ist
Damit ist
c)