M9 Aufgaben zur Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 19. April 2021, 10:59 Uhr

Merke

Sinus, Kosinus und Tangens kannst du nur in rechtwinkligen Dreiecken verwenden. Also suche dir bei den Aufgaben passende rechtwinklige Dreiecke, bei denen 2 Größen gegeben sind und rechne dann mit einer dieser Gleichungen

$sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
$tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

die Unbekannte aus.

Buch S. 129 / 10

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Das Dreieck SOA ist rechtwinklig. Zum Winkel $\beta$ kennt man die Gegenkathete 12m und die Ankathete 45m. Also erhält man mit $tan(\beta)=\frac{12m}{45m}=\frac{4}{15}$ den Winkel $\beta = 15^o$ .
Nun kennt man im rechtwinkligen Dreieck SOB den Winkel $\alpha + \beta = 57^o$ und seine Ankathete 45m. Die Gegenkathete ist 12m + x. In dem Dreieck SOB ist also $\tan(57^o)=\frac{12m + x}{45m}$ .

Diese Gleichung kann man nach x auflösen. Es ist $x = 45m\cdot \tan(57^o) -12m=45,3m$

Buch S. 129 / 11

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a)

Das gezeichnete Dreieck ist bei 100 rechtwinklig. Gesucht ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden. Die Gegenkathete des Winkels ist im Bild 10. Also hat man für den Winkel An- und Gegenkathete. Damit ist $tan(\alpha)=\frac{10}{100}=0,1$ und $\alpha = 5,7^o$

b) $tan(\beta)=\frac{25}{100}=0,25$ und $\beta = 14^o$

c) $tan(\gamma)=\frac{3}{100}=0,03$ und $\gamma = 1,7^o$

d) $tan(\delta)=\frac{12}{100}=0,12$ und $\alpha = 6,8^o$

Buch S. 129 / 13

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a) Angaben: Es ist $a = 4b, c=\frac{a+b}{2}=\frac{5b}{2}, a + b+ c = 75cm$ .
Setzt man für a und c die Terme aus den ersten beiden Gleichungen in die dritte Gleichung ein, so erhält man $7,5 b = 75cm$ und $b = 10cm$ .
a = 40cm, b = 10cm, c = 25cm

$V = abc=10000cm^3 = 10dm^3$ und $O = 2(ab+ac+bc)=2(400cm^2+1000cm^2+250cm^2)=3300cm^2 = 33dm^2$

b) Die Länge der Flächendiagonale [AC] erhält man mit dem Satz von Pythagoras $\overline {AC}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(40cm)^2+(10cm)^2}=\sqrt{1700cm^2}=10\sqrt{17}cm\approx 41,2cm$

Die Länge der Raumdiagonale [AG] erhält man als Folge des Satzes von Pythagoras $\overline {AG}=\sqrt {a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(40cm)^2+(10cm)^2+(25cm)^2}=\sqrt{2325cm^2} =5\sqrt{93}cm\approx48,2cm$

In dem rechtwinkligen Dreieck ACG ist $cos(\alpha)=\frac{10\sqrt{17}cm}{5\sqrt{93}cm}\approx 0,855$ und $\alpha = 31,2^o$

Den Winkel hätte man auch mit Sinus oder Tangens berechnen können.
Es ist $sin(\alpha)=\frac{25cm}{5\sqrt{95}cm}\approx 0,518$ und $\alpha = 31,2^o$

Es ist $tan(\alpha)=\frac{25cm}{10\sqrt{17}cm}\approx 0,606$ und $\alpha= 31,2^o$

Buch S. 132 / 4a

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Gegeben sind die Länge der Hypotenuse c und die Größe des Winkels $\alpha$ .
Dazu macht man sich zuerst eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks ABC und markiert die gegebenen Stücke rot.

Über die Winkelsumme kann man gleich $\beta = 25^o$ bestimmen.
Mit $sin(\alpha)=\frac{a}{c}$ erhält man $a=c\cdot sin(\alpha)=6cm \cdot (65^o)=5,44cm$ .
Mit $cos(\alpha)=\frac{b}{c}$ erhält man $b=c\cdot cos(\alpha)=6cm\cdot cos(65^o)=2,54cm$
Zum Test kann man ja prüfen, ob der Satz von Pythagoras stimmt!
Den Flächeninhalt A erhält man mit $A=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 5,44cm \cdot 2,54cm=6,9cm^2$ .

Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Bei rechtwinkligen Dreiecken ist dies der Thaleskreis. Der Radius des Thaleskreises ist $r = \frac{1}{2}c = 3cm$ . Damit ist $A_{Umkreis} = r^2\pi=9\pi cm^2\approx 28,3cm^2$ .

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 Die Länge der Raumdiagonale [AG] erhält man als Folge des Satzes von Pythagoras <math>\overline {AG}=\sqrt {a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(40cm)^2+(10cm)^2+(25cm)^2}=\sqrt{2325cm^2} =5\sqrt{93}cm\approx48,2cm</math>
-In dem rechtwinkligen Dreieck ACG ist <math>cos(\alpha)=\frac{10\sqrt{17}}{5\sqrt{93}}\approx 0,855</math> und <math>\alpha = 31,2^o</math>
+In dem rechtwinkligen Dreieck ACG ist <math>cos(\alpha)=\frac{10\sqrt{17}cm}{5\sqrt{93}cm}\approx 0,855</math> und <math>\alpha = 31,2^o</math>
 Den Winkel hätte man auch mit Sinus oder Tangens berechnen können. <br>
-Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{25cm}{5\sqrt{95}}\approx 0,518</math> und <math>\alpha = 31,2^o</math><br>
+Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{25cm}{5\sqrt{95}cm}\approx 0,518</math> und <math>\alpha = 31,2^o</math><br>
-Es ist <math>tan(\alpha)=\frac{25}{10\sqrt{17}}\approx 0,606</math> und <math>\alpha= 31,2^o</math>  }}
+Es ist <math>tan(\alpha)=\frac{25cm}{10\sqrt{17}cm}\approx 0,606</math> und <math>\alpha= 31,2^o</math>  }}
+Buch S. 132 / 4a
+{{Lösung versteckt|1=Gegeben sind die Länge der Hypotenuse c und die Größe des Winkels <math>\alpha</math>.<br>
+Dazu macht man sich zuerst eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks ABC und markiert die gegebenen Stücke rot.<br>
+[[Datei:132-4a.jpg]]<br>
+Über die Winkelsumme kann man gleich <math>\beta = 25^o</math> bestimmen.<br>
+Mit <math>sin(\alpha)=\frac{a}{c}</math> erhält man <math>a=c\cdot sin(\alpha)=6cm \cdot (65^o)=5,44cm</math>.<br>
+Mit <math>cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math> erhält man <math>b=c\cdot cos(\alpha)=6cm\cdot cos(65^o)=2,54cm</math><br>
+Zum Test kann man ja prüfen, ob der Satz von Pythagoras stimmt!<br>
+Den Flächeninhalt A erhält man mit <math>A=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 5,44cm \cdot 2,54cm=6,9cm^2</math>.<br>
+Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Bei rechtwinkligen Dreiecken ist dies der Thaleskreis. Der Radius des Thaleskreises ist <math>r = \frac{1}{2}c = 3cm</math>. Damit ist <math>A_{Umkreis} = r^2\pi=9\pi cm^2\approx 28,3cm^2</math>. }}

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