M9 Aufgaben zur Trigonometrie: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 21. April 2021, 13:26 Uhr

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$sin(45^o)$	$cos(45^o)$
$sin(85^o)$	$cos(5^o)$
$cos(20^o)$	$sin(80^o)$
$cos(60^o)$	$sin(30^o)$
$cos(75^o) - sin(15^o)$	0
$sin(30^o)$	0,5
$sin(0^o) + sin(90^o)$	$tan(45^o)$

Aufgabe 1

Im Einheitkreis (Kreis um den Ursprung mit Radius r = 1) ist das Dreieck ABC eingezeichnet.

1. Welche Länge hat die Hypotenuse c?
2. Bestimme $sin(\alpha), cos(\alpha)$ . 3. Stelle die Gleichung zum Satz des Pythagoras auf. Verwende die Ergebnisse von 1. und 2. Welche Beziehung zwischen $sin(\alpha)$ und $cos(\alpha)$ erhältst du?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Es ist c = 1, da c ein Radius ist.
2. $sin(\alpha)=\frac{a}{c}=\frac{a}{1}=a$
$cos(\alpha)=\frac{b}{c}=\frac{b}{1}=b$
3. $a^2 + b^2 = c^2$

Mit den Ergebnissen aus 1. und 2. erhält man $(sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1$

Merke:

$(sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1$

Aufgabe 2

1. Löse $(sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1$ nach $sin(\alpha)$ bzw. $cos(\alpha)$ auf.

2. Berechne ohne Ermittlung des Winkels $\varphi$ für
a) $sin(\varphi)= 0,25$ die Werte von $cos(\varphi), tan(\varphi)$ .
b) $cos(\varphi)= 0,5$ die Werte von $sin(\varphi), tan(\varphi)$ .
c) $tan(\varphi)= 1$ die Werte von $sin(\varphi), cos(\varphi)$ .
d) $sin(\varphi)= 0,11$ die Werte von $cos(\varphi), tan(\varphi)$ .
e) $cos(\varphi)= 0,72$ die Werte von $sin(\varphi), tan(\varphi)$ .
f) $sin(\varphi)= 0,5$ die Werte von $cos(\varphi), tan(\varphi)$ .

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. $sin(\alpha)=\sqrt {1-(cos(\alpha))^2}$ , $cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}$
2. a) $cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}=\sqrt {1-(0,25)^2}=0968$
$tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}=\frac{0,25}{0,968}=0,258$

b) $sin(\varphi)=\sqrt {1-(cos(\alpha))^2}=\sqrt {1-0,5^2}=0,866$
$tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}=\frac{0,866}{0,5}=1,732$

c) $tan(\varphi)= 1$ bedeutet $\varphi = 445^o$ und $sin(45^o)=cos(45^o)= \frac{1}{2}\sqrt 2$

d) $cos(\varphi)=0,994, tan(\varphi)=0111$

e) $sin(\varphi)=0,694, tan(\varphi)=0,964$

f) $cos(\varphi)=0,866, tan(\varphi)=0577$

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 {{Aufgaben-blau|2|2=1. Löse <math>(sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1</math>  nach <math>sin(\alpha)</math> bzw. <math>cos(\alpha)</math> auf.
-.
+. Berechne ohne Ermittlung des Winkels <math>\varphi</math> für <br>
-}}
+a) <math>sin(\varphi)= 0,25</math> die Werte von <math>cos(\varphi), tan(\varphi)</math>.<br>
+b) <math>cos(\varphi)= 0,5</math> die Werte von <math>sin(\varphi), tan(\varphi)</math>.<br>
+c) <math>tan(\varphi)= 1</math> die Werte von <math>sin(\varphi), cos(\varphi)</math>.<br>
+d) <math>sin(\varphi)= 0,11</math> die Werte von <math>cos(\varphi), tan(\varphi)</math>.<br>
+e) <math>cos(\varphi)= 0,72</math> die Werte von <math>sin(\varphi), tan(\varphi)</math>.<br>
+f) <math>sin(\varphi)= 0,5</math> die Werte von <math>cos(\varphi), tan(\varphi)</math>.<br> }}
-{{Lösung versteckt|1=1. <math>sin(\alpha)=\sqrt {1-(cos(\alpha))^2}</math><br>
+{{Lösung versteckt|1=1. <math>sin(\alpha)=\sqrt {1-(cos(\alpha))^2}</math> , <math>cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}</math><br>
-<math>cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}</math>
+. a)<math>cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}=\sqrt {1-(0,25)^2}=0968</math><br>
+<math>tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}=\frac{0,25}{0,968}=0,258</math>
+b) <math>sin(\varphi)=\sqrt {1-(cos(\alpha))^2}=\sqrt {1-0,5^2}=0,866</math><br>
+<math>tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}=\frac{0,866}{0,5}=1,732</math>
+c) <math>tan(\varphi)= 1</math> bedeutet <math>\varphi = 445^o</math> und <math>sin(45^o)=cos(45^o)= \frac{1}{2}\sqrt 2</math>
+d) <math>cos(\varphi)=0,994, tan(\varphi)=0111</math>
+e) <math>sin(\varphi)=0,694, tan(\varphi)=0,964</math>
+f) <math>cos(\varphi)=0,866, tan(\varphi)=0577</math>  }}

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