M10 Der Grenzwert: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Summe mit den Kehrwerten der natürlichen Zahlen wird immer größer, während die Summe mit den Kehrwerten der Quadratzahlen bei jedem Schritt nicht sehr dazuwächst.   
 
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Was stellst du fest? }}
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Die Funktionswerte kommen der Zahl 2 sehr schnell beliebig nahe. und ab n = 36 ergibt sich auf 10 Nachkommastellen gerunden stets 2.  }}
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{{Merksatz|MERK=Nähern sich die Funktionswerte <math>f(x)</math> für <math>x \rightarrow \infty</math> der Zahl a beliebig nahe, dann heißt a '''Grenzwert''' oder '''Limes''' der Funktion. <br>
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Man schreibt: <math>\lim_{x\to \infty} f(x) = a</math>.
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Man sagt auch, dass die Funktion f gegen die Zahl a konvergiert. Die Gerade y = a ist waagrechte Asymptote des Graphen G\sub>f</sub>.
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Dies gilt auch analog für <math>x \rightarrow -\infty</math>. }}

Version vom 5. Mai 2021, 16:01 Uhr

Holt nun Achilles die Schildkröte ein oder nicht?

Ihr habt ein ähnliches Problem schon mal in der 6. Klasse kennengelernt.

Nuvola apps edu science.png   Versuch

Nimm die Brüche mit Nenner 9. Man kann diese Brüche als periodische Dezimalbrüche schreiben.
Schreibe die Brüche \frac{n}{9} mit n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 aus Dezimalbrüche.
Was fällt dir auf?
Was ist speziell bei \frac{9}{9} der Fall?

[Lösung anzeigen]


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Holt Achilles nun die Schildkröte ein?
Ausgangssituation: Achilles läuft mit v_A=10\frac{m}{s}, die Schildkröte mit <matsh>v_S=1\frac{m}{s}</math> und die Schildkröte hat 10m Vorsprung.
1. Mache die Überlegung wie im Film und schaue welchen Weg Achilles, welchen Weg die Schildkröt dort zurücklegt. Wie groß ist die Wegdifferenz der beiden?

2. Nimm nun die Ausgangssituation und berechne wo Achilles und wo die Schildkröte nach 1s, 2s, 3s? Was folgerst du daraus?

[Lösung anzeigen]


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Bilde die Summe
1. 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ ....
2. 1 + \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+ .... Erstelle die Rechnung in einer Tabellenkalkulation. Vergrößere die Tabelle ruhig bis n = 500. Was stellst du jeweils fest?

[Lösung anzeigen]


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Betrachte die Funktion f:x \rightarrow 2 - 2\cdot \left( \frac{1}{2} \right )^2 und berechne die Funktionswerte f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6), .... mit Hilfe einer Tabellenkalkulation.
Was stellst du fest?

[Lösung anzeigen]


Maehnrot.jpg
Merke:

Nähern sich die Funktionswerte f(x) für x \rightarrow \infty der Zahl a beliebig nahe, dann heißt a Grenzwert oder Limes der Funktion.
Man schreibt: \lim_{x\to \infty} f(x) = a.

Man sagt auch, dass die Funktion f gegen die Zahl a konvergiert. Die Gerade y = a ist waagrechte Asymptote des Graphen G\sub>f</sub>.

Dies gilt auch analog für x \rightarrow -\infty.

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