Version vom 19. Februar 2022, 10:39 Uhr

Bruchgleichungen

Bei den Bruchgleichungen der 8. Klasse hast du schon Gleichungen wie $\frac{x}{x+1}=x$ gelöst. Als Lösung hast du x=0 erhalten. Das konntest du lösen. Aber bei einer Gleichung wie $\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}$ mit der Definitionsmenge D = R\{-1;0;1} gab es schon Probleme. Wie löse ich dies?
Wenn du die Bruchgleilchung $\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}$ mit dem Produkt der Nenner (x²-x)(x²-1) multiplizierst, dann erhältst du:
$\frac{6(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-x}=\frac{5(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-1}$ und gekürzt ("über Kreuz multiplizieren"):
$6(x^2-1)=5(x^2-x)$
Man kann nun zusammenfassen und vereinfachen: $6x^2-6 = 5x^2 -5x$ --> $x^2 - 6 = -5x$ --> $x^2+5x-6=0$ das ist eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst.

Aufgabe 1

Bestimme für die Bruchgleichung $\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}$ die Definitionsmenge und ermittle dann die Lösungsmenge L.

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Da unsere Grundmenge R ist, ist D=R\{-1,0,1}; die quadratische Gleichung $x^2+5x-6=0$ hat die Lösungen $x_1=-6, x_2=1$ . Allerdings ist $x_2=1$ nicht in der Definitionsmenge, also ist L={-6}.

Aufgabe 2

Bestimme für die Bruchgleichungen jeweils die maximale Definitionsmenge und den Hauptnenner. Löse dann die Gleichungen.

a) $\frac{x-\sqrt 2}{x + \sqrt 2}+\frac{x+\sqrt 2}{x-\sqrt 2} = 3$

b) $\frac{x}{x-1}- \frac{15-x}{x^2-1}=0$

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a) $D=R \setminus \{-\sqrt 2 , \sqrt 2 \}$ ,
Man bestimmt zuerst den Hauptnenner (HN) und multipliziert die Gleichung dann mit dem Hauptnenner.
$HN = (x+\sqrt 2)(x-\sqrt 2)$
$(x-\sqrt 2)^2 + (x+\sqrt 2)^2 =3(s-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)$
$x^2-2\sqrt 2 x+2+x^2+2\sqrt 2 x +2 =3(x^2-2)$
$2x^2 + 4 = 3x^2 -6$
$10=x^2$ , also $L=-\sqrt {10}, \sqrt {10}$ }
b) D=R\{-1;1} (3. binomische Formel x²-1=(x-1)(x+1)!) ,

Die zwei Brüche auf der linken Seite haben die Nenner x-1 und x²-1. Mit der dritten binomischen Formel kommt in beiden Nenner x-1 vor, also muss man den ersten Bruch mit x+1 erweitern. Dann haben beiden Brüche den gleichen Nenner (x+1)(x-1). Multipliziert man nun die Gleichung mit (x+1)(x-1) durch, dann fallen die Nenner weg und links bleibt stehen x(x+1)-(15-x). Bitte macht eine Klammer um den Zähler des zweiten Bruchs, weil vor dem Bruch ein - steht! Damit muss man die Gleichung x²+x-15+x=0 zu lösen, dies ist eine quadratische Gleichung x²+2x-15=0 mit den zwei Lösungen x₁=-5; x₂=3

Anwendungsaufgaben

Aufgabe 3

Knobelaufgabe S. 76 / 9
Dreiecksaufgabe S. 76 / 11
Busfahrt S. 77 / 14

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76/9a) Die zugehörige Gleichung ist $x = x^2-1$ mit der positven Lösung $x_1=\frac{1+\sqrt 5}{2}$ .
b) Die zugehörige Gleichung ist $x = \frac {1}{x} +1$ mit den Lösungen $x_1=\frac{1-\sqrt 5}{2}, x_2=\frac{1+\sqrt 5}{2}$

76/11 Mache dir zuerst eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks (Hypotenuse c unten, Katheten rechts und links, z.b. die rechte Kathete länger, dann ist die längere Kathete b, die kürzere a) Es ist dann a = b-7, c = b+1 und mit dem Satz von Pythagoras erhält man $(c+1)^2=b^2+(b-7)^2$ . Nun löst man die Klammern auf und fasst zusammen. Es ergibt sich die quadratische Gleichung $b^2-16b+48=0$ , welche die Lösungen $b_1=4, b_2=12$ . Wegen a = b-7 ist b₁=4 keine Lösung, also hat das Dreieck die Seitenlängen a = 5, b = 12, c = 13.
(Übrigens ist (5;12;13) ein pythagroräisches Zahlentripfel!)
$u_{Dreieck}=5+12+13=30$ , $A_{Dreieck}=\frac{1}{2}4\cdot 12=30$
Der Umkreis hat den Radius $r=\frac {c}{2}=6,5$ (Thaleskreis!), also ist $A_{Kreis}=6,5^2 \pi\approx 132,73$
Es ist $\frac{A_{Dreieck}}{A_{Kreis}}=\frac{30}{132,73}=0,226=22,6%$

77/14 Für den vollen Bus sind n Mitfahrer eingeplant. Jeder Mitfahrer zahlt dann für die Busfahrt $x=\frac{450}{n}$ .
Da nun 5 Personen weniger mitfahren, es ist also die Anzahl der Mitfahrer n - 5. Und jeder Mitfahrer zahlt nun x + 1.
Man hat nun die Gleichung $450 = (n-5)(x+1)$ . Diese Gleichung hat nun zwei Unbekannte n und x. Wir kennen aber einen Zusammenhang zwischen n und x, nämlich $x=\frac{450}{n}$ oder $n=\frac{450}{x}$ . Setzt man die letzte Gleichung für n in die Gleichung $450 = (n-5)(x+1)$ ein, so erhält man $450 = (\frac{450}{x}-5)(x+1)$ . Die Gleichung $450 = (\frac{450}{x}-5)(x+1)$ kann man in eine quadratische Gleichung umwandeln, indem man sie mit $x$ multipliziert (und dabei auf der rechten Seite die erste Klammer als $\frac{450-5x}{x}$ schreibt, dann fällt nämlich beim Multiplizieren mit x der Nenner weg.)
$450x=(450-5x)(x+1)$
$450x=450x+450-5x^2-5x$
$0=450-5x^2-5x |\cdot -\frac{1}{5}$
$x^2+x-90=0$ mit den zwei Lösungen $x_1=-10, x_2=9$ .

Also war ursprünglich geplant, dass 50 Mitfahrer jeweils 9€ zahlen. Nun sind es 45 Mitfahrer und jeder zahlt 10€.

Und zum Anschauen (du kannst natürlich auch immer anhalten und selbst mitrechnen und lösen!):

Aufgabe 4

Schwimmbadaufgabe S. 77 / 18

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77/18

a) Koordinatensystem mit Ursprung im Fußpunkt des Sprungturms, Scheitel bei (0;10), weiterer Parabelpunkt (5;5)
Mit der Scheitelform $y = ax^2 +10$ und $5=25a+10$ ergibt sich $a=-\frac{1}{5}$ , also $f(x) = -\frac{1}{5}x^2+10$

b) Sie kommt bei x unten auf und x erhält man aus $-\frac{1}{5}x^2+10=0$ , also $x=5\sqrt 2$ .

Schnittprobleme

1. Man hat zwei Funktionen, eine quadratische Funktion $f:x \rightarrow x^2-2x$ und eine lineare Funktion $g:x \rightarrow 3x-6$ . Für diese zwei Funktionen stellt sich die Frage, haben sie gemeinsame Punkte oder nicht.
Für die Graphen der Funktionen bedeutet das, schneiden sie sich, berühren sie sich oder haben sie keine gemeinsamen Punkte.

Dies kann man versuchen graphisch zu lösen:

Aus der Grafik liest man ab, dass die beiden Graphen sich in den Punkten (2;0) und (3;3) schneiden.
Rechnerisch geht es darum die Gleichung $x^2-2x =3x-6$ zu lösen. Dazu formt man sie um in die für quadratische Gleichungen übliche Form, alles auf die linke Seite und 0 auf der rechten Seite, $x^2-5x+6=0$ und versucht diese Gleichung zu lösen.
Mit der Diskriminante D =25-24=1 weiß man, dass es zwei Lösungen gibt und mit der Lösungsformel erhält man x₁ = 2 und x₃ = 3.

2. Die Graphen der Funktionen $f:x\rightarrow \frac{1}{2}x^2-\frac{2}{3}x+1$ und $g:x\rightarrow -x^2+3x-1$ schneiden sich.

Aufgabe 5

Kreuze richtig an

$\frac{1}{2}x^2-\frac{2}{3}x+1=0$ (!D>0) (!D=0) (D<0)

$-x^2+3x-1=0$ (D>0) (!D=0) (!D<0)

$\frac{1}{2}x^2-\frac{2}{3}x+1= -x^2+3x-1$ (D>0) (!D=0) (!D<0)

3. Ermittle die gemeinsamen Punkte der Graphen von $f:x\rightarrow x^2-2x+2$ und $g:x\rightarrow \frac{1}{2}x+3$ . Zeichnet man die Graphen in ein Koordinatensystem so hat man dieses Bild:

Aus der Graphik kann man die Schnittpunkte schlecht ablesen. Also muss man sie berechnen. Es ist dabei die Gleichung $x^2-2x+2=\frac{1}{2}x+3$ zu lösen. Dies führt zu der quadratischen Gleichung $x^2 -2,5x -1=0$ , die man löst und die Lösungen $x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt {41}}{4}$ hat, also $x_1\approx -0.35078105935821,x_2 \approx 2.85078105935821$

4. Wo schneiden sich die beiden Graphen?

Man kann es aus der Graphik nur ungenau ablesen. Also muss man rechnen. Aber man hat ja nur die zwei Graphen.
Aus den Graphen kann man die Funktonsterme bestimmen. Bestimme die Funktionsgleichungen für f und g.
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$f(x) = \frac{1}{4}(x+1)^2-2$ und $g(x) = -\frac{1}{2}x+3$

Um die Schnittpunkte zu bestimmen muss man die Gleichung $\frac{1}{4}(x+1)^2-2= -\frac{1}{2}x+3$ lösen. Dazu formt man die linke Seite zuerst um in $\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{7}{4}$ und hat dann die Gleichung $\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{7}{4}=-\frac{1}{2}x+3$ . Diese Gleichung bringt man in die übliche Form einer quadratischen Gleichung $\frac{1}{4}x^2+x-\frac{19}{4}=0$ . Mit der Lösungsformel erhält man $x_1=-2-\sqrt {23}\approx -6,796$ und $x_2=-2+\sqrt{23}\approx 2,796$
Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind dann S₁(-6,796;6,398) und S₂(2,796;1,602)

Aufgabe 6

Bearbeite bei Mathegym den Arbeitsauftrag "quadratische Gleichungen - Schnittprobleme"

@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
-{{Aufgaben-blau|2|2=Buch S. 76 / 6 }}
+{{Aufgaben-blau|2|2=Bestimme für die Bruchgleichungen jeweils die maximale Definitionsmenge und den Hauptnenner. Löse dann die Gleichungen.
-{{Lösung versteckt|1=Man verwendet den neben der Aufgabe stehende Tipp. Man multipliziert die Gleichung zuerst mit dem Hauptnenner.<br>
+a) <math>\frac{x-\sqrt 2}{x + \sqrt 2}+\frac{x+\sqrt 2}{x-\sqrt 2} = 3</math>
-a) D=R\{-1;1}, HN=(n-1)(n+1)<br>
-n+1 + n-1 = n², also n²-2n=0, n<sub>1</sub>=0, n<sub>2</sub>=2<br>
+b) <math>\frac{x}{x-1}- \frac{15-x}{x^2-1}=0</math>     }}
-b)  D=R\{<math>.\sqrt 2 , \sqrt 2</math>}, HN = (x+<math>\sqrt 2</math>)(x-<math>\sqrt 2</math>)<br>
+{{Lösung versteckt|1= a) <math>D=R \setminus \{-\sqrt 2 , \sqrt 2 \}</math>, <br>
+Man bestimmt zuerst den Hauptnenner (HN) und multipliziert die Gleichung dann mit dem Hauptnenner.<br>
+<math>HN = (x+\sqrt 2)(x-\sqrt 2)</math><br>
 <math>(x-\sqrt 2)^2 + (x+\sqrt 2)^2 =3(s-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)</math><br>
 <math>x^2-2\sqrt 2 x+2+x^2+2\sqrt 2 x +2 =3(x^2-2)</math> <br>
 <math> 2x^2 + 4 = 3x^2 -6</math> <br>
-<math>10=x^2</math>, also L={<math>-\sqrt {10}, \sqrt {10} </math>}<br>
+<math>10=x^2</math>, also <math>L=-\sqrt {10}, \sqrt {10} </math>}<br>
-c) D=R\{-1;1} (3. binomische Formel x<sup>2</sup>-1=(x-1)(x+1)!) ,<br>
+b) D=R\{-1;1} (3. binomische Formel x<sup>2</sup>-1=(x-1)(x+1)!) ,<br>
 Die zwei Brüche auf der linken Seite haben die Nenner x-1 und x²-1. Mit der dritten binomischen Formel kommt in beiden Nenner x-1 vor, also muss man den ersten Bruch mit x+1 erweitern. Dann haben beiden Brüche den gleichen Nenner (x+1)(x-1). Multipliziert man nun die Gleichung mit (x+1)(x-1) durch, dann fallen die Nenner weg und links bleibt stehen x(x+1)-(15-x). Bitte macht eine Klammer um den Zähler des zweiten Bruchs, weil vor dem Bruch ein - steht! Damit muss man die Gleichung x<sup>2</sup>+x-15+x=0 zu lösen, dies ist eine quadratische Gleichung x<sup>2</sup>+2x-15=0 mit den zwei Lösungen x<sub>1</sub>=-5; x<sub>2</sub>=3 }}

M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 19. Februar 2022, 10:39 Uhr

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