Rationale Funktionen Nullstellen: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 29. Juli 2013, 15:40 Uhr

Die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion findet man, indem man den Zähler der Funktion betrachtet, denn ein Bruch hat den Wert 0, wenn der Zähler den Wert 0 hat.

f:x \rightarrow \frac{2-x}{x^2} hat den Funktionswert 0, wenn der Zähler 2-x = 0 ist.

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Die gebrochen-rationale Funktion f mit f(x) = \frac{a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0} hat für x = x_0, x_0 \in D_{max} den Funktionswert Null, wenn das Zählerpolynom g(x_0) = a_z a_0^z+a_{z-1}x_0^{z-1}+ ... + a_1 x_0+a_0 = 0 ist.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Ordne die Nullstellen und die angegebenen Funktionen f: x \rightarrow f(x) richtig zu!

f(x) = \frac{2x}{x-12} x = 0
f(x) = \frac{2}{2x-6} keine Nullstelle
f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-1} x_1 = 0; x_2 = 2
f(x) = \frac{x^3-2x+1}{x^2-3x+2} x_1 = -\frac{1}{2}-\frac{sqrt{5}}{2}; x_2=1; x_3=-\frac{1}{2}+\frac{sqrt{5}}{2}
f(x) = \frac{x^2+2x}{x^2-64} x_1 = -2; x_2 = 0
f(x) = \frac{x^2-64x}{x^2+64} x_1 = -8; x_2 = 8


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Ermittle jeweils die Nullstellen der Funktion:

a) f mit f(x) = \frac{13-x}{(x-1)^2}

b) g mit g(x) = \frac{16-x^2}{x^2+1}

c) h mit h(x) = \frac{16}{x^2-1}

d) k mit k(x) = \frac{x^2+3x+2}{(x-3)(x-2)}

e) l mit l(x) = \frac{x^2-5x+6}{(x^2+7)}

f) m mit m(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^4+1}

g) n mit n(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}

a) x = 13

b) x = -4 ; x = 4

c) keine

d) x = -2; x= -1

e) x= 2; x = 3

f) x = -3; x = 0; x = 2

g) x = -3; x = 0; (x = 2 muss näher untersucht werden, da 2 auch Nullstelle des Nenners ist!)
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