Lösung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 19. April 2011, 18:38 Uhr

Sinusfunktion

Dieses Bild

zeigt die Sinusfunktion im Grundintervall [0;2PI]

Es ist
Definitionsmenge: [0;2 $\pi$ ]
Wertemenge: [-1;1]
Nullstellen: x = 0; $\pi$ , 2 $\pi$
Hochpunkt: ( $\frac{1}{2}\pi$ ;1) und Tiefpunkt: ( $\frac{3}{2}\pi$ ;-1)
Monotonie: für 0 <= x <= $\frac{1}{2}\pi$ ist sin streng monoton steigend;
für $\frac{1}{2}\pi$ <= x <= $\frac{3}{2}\pi$ ist sin streng monoton fallend;
für $\frac{3}{2}\pi$ <= x <= 2 $\pi$ ist sin streng monoton steigend

In diesem Bild

ist die Sinusfunktion über das Grundintervall [0; $2\pi$ ] hinaus fortgesetzt.

Hier ist nun
Definitionsmenge: Menge der reellen Zahlen R
Wertemenge: [-1;1]
Nullstellen: x = $K*\pi$ mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... (k ist eine ganze Zahl)
Hochpunkt: ( $\frac{1}{2}\pi$ + $k*2\pi$ ;1) und Tiefpunkt: ( $\frac{3}{2}\pi$ + $k*2\pi$ ;-1) mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...
Monotonie: für 0+ $k*2\pi$ <= x <= $\frac{1}{2}\pi$ + $k*2\pi$ ist sin streng monoton steigend;
für $\frac{1}{2}\pi$ + $k*2\pi$ <= x <= $\frac{3}{2}\pi$ + $k*2\pi$ ist sin streng monoton fallend;
für $\frac{3}{2}\pi$ + $k*2\pi$ <= x <= 2 $\pi$ + $k*2\pi$ ist sin streng monoton steigend
wobei k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... (k ist eine ganze Zahl)

Symmetrie zum Koordinatensystem: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)

Der Graph des Grundintervalls [0; 2 $\pi$ ] wiederholt sich immer wieder. Die Periode (oder Periodenlänge) der Sinusfunktion ist 2 $\pi$ .

Kosinusfunktion

Dieses Bild

zeigt die Kosinusfunktion im Grundintervall [0;2PI] und hier

in einem größeren Abschnitt.

Es ist
Definitionsmenge: Menge der reellen Zahlen R
Wertemenge: [-1;1]
Nullstellen: x = $\frac{1}{2}\pi+k*\pi$ mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... (k ist eine ganze Zahl)
Hochpunkt: (0+ $k*2\pi$ ;1) und Tiefpunkt: ( $/pi+k*2\pi$ ;-1) mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...
Monotonie: für 0+ $k*2\pi$ <= x <= $\pi+k*2\pi$ ist cos streng monoton fallend;
für $\pi+k*2\pi$ <= x <= $2*\pi+k*2\pi$ ist cos streng monoton steigend; wobei k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... (k ist eine ganze Zahl)

Symmetrie zum Koordinatensystem: Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse y = 0

Der Graph im Grundintervall [0; $2\pi$ ] wiederholt sich immer wieder. Die Kosinusfunktion ist also auch periodisch mit der Periode (Periodenlänge) $2\pi$ .

Zur Ergänzung: Tangensfunktion

Definitionsmenge: R \ {x|x = $\frac{\pi}{2} + k*\pi$ , k = -3;-2;-1;0;1;2;3;...}
Definitionslücken: x = $\frac{\pi}{2} + k*\pi$ mit k = -3;-2;-1;0;1;2;3;...
Wertemenge: $R$
Nullstellen: x = $k*\pi$ mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... (k ist eine ganze Zahl)
Hochpunkt: keine und Tiefpunkt: keine
Monotonie: tan ist in seiner Definitionsmenge überall streng monoton steigend; insbesondere ist tan im Grundintervall [ $-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] streng monoton steigend<br> ''Symmetrie zum Koordinatensystem:'' Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)<br> Für die Tangensfunktion ist das Grundintervall [<math>-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]. Die Tangensfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge PI. ---- [http://www.rsg.rothenburg.de/wiki/images/a/a0/Eigenschaften_tri_fu.pdf Download] dieser Seite als pdf-Datei. ---- Zurück zu [[Eigenschaften trigonometrischer Funktionen]]$

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 In diesem Bild
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-ist die Sinusfunktion über das Grundintervall [0;2<math>\pi</math>] hinaus fortgesetzt.
+ist die Sinusfunktion über das Grundintervall [0;<math>2\pi</math>] hinaus fortgesetzt.
 Hier ist nun<br>
 ''Definitionsmenge:'' Menge der reellen Zahlen R <br>
 ''Wertemenge:''  [-1;1] <br>
-''Nullstellen:'' x = k*<math>\pi</math> mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... (k ist eine ganze Zahl) <br>
+''Nullstellen:'' x = <math>K*\pi</math> mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... (k ist eine ganze Zahl) <br>
-''Hochpunkt:'' (<math>\frac{1}{2}\pi</math>+k*2<math>\pi</math>;1) und ''Tiefpunkt:'' (<math>\frac{3}{2}\pi</math>+k*2<math>\pi</math>;-1) mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... <br>
+''Hochpunkt:'' (<math>\frac{1}{2}\pi</math>+<math>k*2\pi</math>;1) und ''Tiefpunkt:'' (<math>\frac{3}{2}\pi</math>+<math>k*2\pi</math>;-1) mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... <br>
-''Monotonie:'' für 0+k*2<math>\pi</math> <= x <= <math>\frac{1}{2}\pi</math>+k*2<math>\pi</math> ist sin streng monoton steigend;<br>
+''Monotonie:'' für 0+<math>k*2\pi</math> <= x <= <math>\frac{1}{2}\pi</math>+<math>k*2\pi</math> ist sin streng monoton steigend;<br>
-für <math>\frac{1}{2}\pi</math>+k*2<math>\pi</math> <= x <= <math>\frac{3}{2}\pi</math>+k*2<math>\pi</math> ist sin streng monoton fallend; <br>
+für <math>\frac{1}{2}\pi</math>+<math>k*2\pi</math> <= x <= <math>\frac{3}{2}\pi</math>+<math>k*2\pi</math> ist sin streng monoton fallend; <br>
-für <math>\frac{3}{2}\pi</math>+k*2<math>\pi</math> <= x <= 2<math>\pi</math>+<math>k*2\pi</math> ist sin streng monoton steigend<br>
+für <math>\frac{3}{2}\pi</math>+<math>k*2\pi</math> <= x <= 2<math>\pi</math>+<math>k*2\pi</math> ist sin streng monoton steigend<br>
 wobei k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...  (k ist eine ganze Zahl)
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 ''Definitionsmenge:'' Menge der reellen Zahlen R <br>
 ''Wertemenge:''  [-1;1] <br>
-''Nullstellen:'' x = 1/2PI+k*PI mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... (k ist eine ganze Zahl) <br>
+''Nullstellen:'' x = <math>\frac{1}{2}\pi+k*\pi</math> mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... (k ist eine ganze Zahl) <br>
-''Hochpunkt:'' (0+k*2PI;1) und ''Tiefpunkt:'' (PI+k*2PI;-1) mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... <br>
+''Hochpunkt:'' (0+<math>k*2\pi</math>;1) und ''Tiefpunkt:'' (<math>/pi+k*2\pi</math>;-1) mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... <br>
-''Monotonie:'' für 0+k*2PI <= x <= PI+k*2PI ist cos streng monoton fallend;<br>
+''Monotonie:'' für 0+<math>k*2\pi</math> <= x <= <math>\pi+k*2\pi</math> ist cos streng monoton fallend;<br>
-für PI+k*2PI <= x <= 2*PI+k*2PI ist cos streng monoton steigend;
+für <math>\pi+k*2\pi</math> <= x <= <math>2*\pi+k*2\pi</math> ist cos streng monoton steigend;
 wobei k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...  (k ist eine ganze Zahl)
 ''Symmetrie zum Koordinatensystem:'' Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse y = 0<br>
-Der Graph im Grundintervall [0; 2PI] wiederholt sich immer wieder. Die Kosinusfunktion ist also auch periodisch mit der Periode (Periodenlänge) 2PI.
+Der Graph im Grundintervall [0; <math>2\pi</math>] wiederholt sich immer wieder. Die Kosinusfunktion ist also auch periodisch mit der Periode (Periodenlänge) <math>2\pi</math>.
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 [[bild:tan.jpg|center]]
-''Definitionsmenge:'' R \ {x|x = PI/2 + k*PI, k = -3;-2;-1;0;1;2;3;...} <br>
+''Definitionsmenge:'' R \ {x|x = <math>\frac{\pi}{2} + k*\pi</math>, k = -3;-2;-1;0;1;2;3;...} <br>
-''Definitionslücken:'' x = PI/2 + k*PI mit k = -3;-2;-1;0;1;2;3;...<br>
+''Definitionslücken:'' x = <math>\frac{\pi}{2} + k*\pi</math> mit k = -3;-2;-1;0;1;2;3;...<br>
-''Wertemenge:''  R <br>
+''Wertemenge:''  <math>R</math> <br>
-''Nullstellen:'' x = k*PI mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... (k ist eine ganze Zahl) <br>
+''Nullstellen:'' x = <math>k*\pi</math> mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... (k ist eine ganze Zahl) <br>
 ''Hochpunkt:'' keine und ''Tiefpunkt:'' keine <br>
-''Monotonie:'' tan ist in seiner Definitionsmenge überall streng monoton steigend; insbesondere ist tan im Grundintervall [-PI/2; PI/2] streng monoton steigend<br>
+''Monotonie:'' tan ist in seiner Definitionsmenge überall streng monoton steigend; insbesondere ist tan im Grundintervall [<math>-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] streng monoton steigend<br>
 ''Symmetrie zum Koordinatensystem:'' Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)<br>
-Für die Tangensfunktion ist das Grundintervall [-PI/2; PI/2]. Die Tangensfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge PI.
+Für die Tangensfunktion ist das Grundintervall [<math>-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]. Die Tangensfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge PI.
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-['''Sinusfunktion'''
-Dieses Bild [[bild:sin_g.jpg|center]] zeigt die Sinusfunktion im Grundintervall [0;2PI]<br>
-Es ist <br>
-''Definitionsmenge:'' [0;2PI]<br>
-''Wertemenge:''  [-1;1] <br>
-''Nullstellen:'' x = 0; PI, 2PI <br>
-''Hochpunkt:'' (1/2*PI;1) und ''Tiefpunkt:'' (3/2*PI;-1) <br>
-''Monotonie:'' für 0 <= x <= 1/2*PI ist sin streng monoton steigend;<br>
-für 1/2*PI <= x <= 3/2*PI ist sin streng monoton fallend; <br>
-für 3/2*PI <= x <= 2PI ist sin streng monoton steigend<br>
-In diesem Bild der Sinusfunktion
-[[bild:sin2.jpg|center]]
-ist sie über das Grundintervall [0;2PI] hinaus fortgesetzt.
-Hier ist nun<br>
-''Definitionsmenge:'' Menge der reellen Zahlen R <br>
-''Wertemenge:''  [-1;1] <br>
-''Nullstellen:'' x = k*PI mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... (k ist eine ganze Zahl) <br>
-''Hochpunkt:'' (1/2*PI+k*2PI;1) und ''Tiefpunkt:'' (3/2*PI+k*2PI;-1) mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... <br>
-''Monotonie:'' für 0+k*2PI <= x <= 1/2*PI+k*2PI ist sin streng monoton steigend;<br>
-für 1/2*PI+k*2PI <= x <= 3/2*PI+k*2PI ist sin streng monoton fallend; <br>
-für 3/2*PI+k*2PI <= x <= 2PI+k*2PI ist sin streng monoton steigend<br>
-wobei k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...  (k ist eine ganze Zahl)
-''Symmetrie zum Koordinatensystem:'' Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)<br>
-Der Graph des Grundintervalls [0; 2PI] wiederholt sich immer wieder. Die Periode (oder Periodenlänge) der Sinusfunktion ist 2PI.
-'''Kosinusfunktion'''
-Dieses Bild [[bild:cos.jpg|center]] zeigt die Kosinusfunktion im Grundintervall [0;2PI]
-und hier [[bild:cos2.jpg|center]] in einem größeren Abschnitt.
-Es ist<br>
-''Definitionsmenge:'' Menge der reellen Zahlen R <br>
-''Wertemenge:''  [-1;1] <br>
-''Nullstellen:'' x = 1/2PI+k*PI mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... (k ist eine ganze Zahl) <br>
-''Hochpunkt:'' (0+k*2PI;1) und ''Tiefpunkt:'' (PI+k*2PI;-1) mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... <br>
-''Monotonie:'' für 0+k*2PI <= x <= PI+k*2PI ist cos streng monoton fallend;<br>
-für PI+k*2PI <= x <= 2*PI+k*2PI ist cos streng monoton steigend;
-wobei k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...  (k ist eine ganze Zahl)
-''Symmetrie zum Koordinatensystem:'' Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse y = 0<br>
-Der Graph im Grundintervall [0; 2PI] wiederholt sich immer wieder. Die Kosinusfunktion ist also auch periodisch mit der Periode (Periodenlänge) 2PI.
-----
-Zur Ergänzung: '''Tangensfunktion'''
-[[bild:tan.jpg|center]]
-''Definitionsmenge:'' R \ {x|x = PI/2 + k*PI, k = -3;-2;-1;0;1;2;3;...} <br>
-''Definitionslücken:'' x = PI/2 + k*PI mit k = -3;-2;-1;0;1;2;3;...<br>
-''Wertemenge:''  R <br>
-''Nullstellen:'' x = k*PI mit k = ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... (k ist eine ganze Zahl) <br>
-''Hochpunkt:'' keine und ''Tiefpunkt:'' keine <br>
-''Monotonie:'' tan ist in seiner Definitionsmenge überall streng monoton steigend; insbesondere ist tan im Grundintervall [-PI/2; PI/2] streng monoton steigend<br>
-''Symmetrie zum Koordinatensystem:'' Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)<br>
-Für die Tangensfunktion ist das Grundintervall [-PI/2; PI/2]. Die Tangensfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge PI.
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Lösung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 19. April 2011, 18:38 Uhr

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