Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 22. März 2020, 09:27 Uhr

Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.

Hintergrund zur Hesseschen Normalenform (HNF):

Wir kennen die Normalenform einer Ebenengleichung. $\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})=0$ .
Normiert man den Normalenvektoer $\vec{n}$ , also $\vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}$ , dann erhält man einen Vektor $\vec{n}^o$ , der die gleiche Richtung wie der Normalenvektor $\vec{n}$ und die Länge $\vert \vec{n}^o \vert =\frac{\vert \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}=1$ hat.
Mit dem Vektor $\vec{n}^o$ erstellt man ebenso eine Normalenform $\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})=0$ der Ebene. Man kann dies umformen und in Koordinatenschreibweise angeben:
$\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} = \frac{n_1 x_1+n_2 x_2 + n_2 x_3-(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3)}{\vert \vec{n} \vert} = 0$

Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ ist. Das ist so festgelegt. In der HNF muss also vor der Konstanten $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ ein Minuszeichen stehen!

Aufgabe

Geben Sie die Hessesche Normalenform an:
a) 2x₁+ x₂ - 2x₃ - 4 = 0 b) 3x₁+ x₂ - 20x₃ + 45 = 0

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $\frac{2 x_1+ x_2 -2 x_3 - 4}{3} = 0$

b) $-\frac{3 x_1 + x_2 -20 x_3 + 45}{\sqrt{410}} = 0$ Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF $\frac{-3 x_1 - x_2 + 20 x_3 - 45}{\sqrt{410}} = 0$

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 Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.
-Hintergrund zur Hesseschen Normalenform:
+Hintergrund zur Hesseschen Normalenform (HNF):
 Wir kennen die Normalenform einer Ebenengleichung. <math>\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})=0</math>.<br>
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 <math>\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} = \frac{n_1 x_1+n_2 x_2 + n_2 x_3-(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3)}{\vert \vec{n} \vert}  = 0</math>
-{{Aufgaben-blau||2=
+Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> ist. Das ist so festgelegt. In der HNF muss also vor der Konstanten <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> ein Minuszeichen stehen!
+{{Aufgaben-blau||2= Geben Sie die Hessesche Normalenform an: <br>
+a) 2x<sub>1</sub>+ x<sub>2</sub> - 2x<sub>3</sub> - 4 = 0
+b) 3x<sub>1</sub>+ x<sub>2</sub> - 20x<sub>3</sub> + 45 = 0
 }}
-Für die Hessesche Normalform muss außerdem gelten, dass <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> ist. Das ist so festgelegt.
+{{Lösung versteckt|1=a)   <math>\frac{2 x_1+ x_2 -2  x_3 - 4}{3}  = 0</math><br>
+b)   <math>-\frac{3 x_1 + x_2 -20 x_3 + 45}{\sqrt{410}}  = 0</math> Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF  <math>\frac{-3 x_1 - x_2 + 20 x_3 - 45}{\sqrt{410}}  = 0</math>
+}}

Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen

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