M8 Formeln auflösen

Im Mathematikunterricht hast du schon Flächenformeln kennengelernt. Die Flächenformel für den Flächeninhalt
- eines Dreiecks mit Grundseite g und Höhe h ist $A_D = \frac{1}{2} gh$
- eines Quadrats mit Seitenlänge a ist $A_Q = a^2$
- eines Rechtecks mit Länge l und Breite b ist $A_R = lb$
- eines Trapezes ist $A_T = \frac{a+c}{2}h$

Du kennst Formeln aber auch aus der Physik oder Chemie. In Physik hast du etwa kennengelernt:
$G = mg, v=\frac{s}{t}, U = RI, E_B = \frac{1}{2}mv^2, ...$

Merke

In Formeln sind Zahlen und Buchstaben enthalten. Die Buchstaben stehen für Größen eines messbaren Objekts und bestehen im konkreten Fall aus Zahl und Einheit.
Zum Beispiel: A = 4 m², hier ist A die Größe Fläche und besteht aus dem Zahlenwert 4 und der Einheit m².

Bei Aufgaben in der Physik hat man oft eine Gleichung mit den Buchstaben der vorkommenden Größen. Man löst diese Gleichung allgemein nach dem Buchstaben der gesuchten Größe auf und setzt dann erst die Zahlen mit ihren Einheiten ein. Wichtig ist dabei, dass man die Formel richtig nach der gesuchten Größe auflöst.

Beispiele:
1. An einem Stromkreis liegt die Spannung U = 1,5 V und es fließt ein Strom der Stromstärke I = 0,2 A. Wie groß ist der Widerstand R im Stromkreis?
Du kennst die Formel $U = R\cdot I$ . Löse die Formal nach R auf. Es ist $R=\frac{U}{I}$ und setze dann die gegebenen Werte ein. $R=\frac{U}{I}=\frac{1,5 V}{0,2 A}=7,5\frac{V}{A}=7,5 \Omega$

2. Ein Körper hat die Gewichtskraft G=10N. Welche Masse m hat er?
Du kennst den Zusammenhang zwischen Masse und Gewichtskraft $G = m \cdot g$ . Dabei ist g der Ortsfaktor oder Erdbeschleunigung. Du kennst seinen Wert als $g=9,8\frac{N}{kg}= 9,8\frac{m}{s^2}$ . Du löst diese Gleichung nach m auf $m = \frac{G}{g}$ und setzt die Werte ein. $m = \frac{G}{g}=\frac{10N}{9,8\frac{N}{kg}}=1,02 kg$ .

Aufgabe 1

Lies im Buch S. 130 und schaue dir die Beispiele auf dieser Seite an.
Bearbeite dann im Buch die Aufgaben S. 131 / 1, 2

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S. 131/1
Die Dichte $\rho = \frac{m}{V}$ ist der Quotient aus Masse m und Volumen V eines Körpers. Es ist $m = \rho \cdot V, V =\frac{m}{\rho}$ .
Die Geschwindigkeit $v = \frac{s}{t}$ ist der Quotient aus dem in der Zeit t zurückgelegten Weg s und der Zeit t. Es ist $s = v \cdot t, t = \frac{s}{v}$
Der Ortsfaktor g ist der Proportionalitätsfaktor zum Zusammenhang Gewichtskraft G und Masse m. Es ist $G=m\cdot g, m = \frac{G}{g}$
Der Widerstand R ist der Quotient aus anliegender Spannung U und Stromstärke I. Es ist $U = R \cdot I, I = \frac{U}{R}$
Die Federkonstante D ist der Quotient aus wirkender Kraft F und Verlängerung s der Feder. Es ist $F = D \cdot s, s = \frac{F}{D}$
Der Prozentsatz P ist der Quotient aus Anteil W und Gesamtzahl G. Es ist $W = P\cdot G, G = \frac{W}{P}$

S. 131/2
Einheit der Dichte: $1 \frac{kg}{m^3}$ oder $1 \frac{g}{cm^3}$
Einheit der Geschwindigkeit: $1 \frac{m}{s}$ oder $1 \frac{km}{h}$
Einheit der Federhärte: $1 \frac{N}{m}$ oder $1 \frac{N}{cm}$

Einheit des Drucks (Druck p ist der Quotient aus der Kraft F und Fläche A, auf die die Kraft wirkt.): $1 \frac{N}{m^2}=1 Pa$ oder $1\frac{N}{cm^2}$ . Es ist $10\frac{N}{cm^2}= 1 bar$ .

Aufgabe 2

Löse die folgenden Gleichungen und Formeln jeweils nach jedem Buchstaben auf.

a) $a - b = c + d\cdot e$
b) $a(b-c) = d(a+e)$
c) $u = 2(a+b)$
d) $A = a \cdot b$
e) $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
f) $A = \frac{a+b}{2} \cdot h$
g) $V = a \cdot b \cdot c$
h) $U = 2 \pi \cdot r$
i) $U = R\cdot I$
k) $E = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$
l) $v = v_0 - g \cdot t$
m) $D = \frac{F}{s}$
n) $\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}$

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a) $a = b + c + d\cdot e,$ $b = a - c - d\cdot e,$ $c = a-b - d\cdot e,$ $d = \frac{a-b-c}{e},$ $e = \frac{a-b-c}{d}$
b) $a = \frac{de}{b-c-d},$ $b = \frac{ad+de}{a} + c,$ $c = b- \frac{ad+de}{a},$ $d = \frac{ab-ac}{a+e},$ $e = \frac{ab-ac}{d}-a$
c) $a = \frac{u}{2}-b,$ $b = \frac{u}{2}-a$
d) $a = \frac{A}{b},$ $b = \frac{A}{a}$
e) $g = \frac{2A}{h},$ $h = \frac{2A}{g}$
f) $a = \frac{2A}{h}-b,$ $b = \frac{2A}{h}-a,$
g) $a = \frac{V}{b\cdot c},$ $b = \frac{V}{a\cdot c},$ $c = \frac{V}{a\cdot b},$
h) $r = \frac{U}{2\cdot \pi}$
i) $R = \frac{U}{I},$ $I = \frac{U}{R}$
k) $m = \frac{2E}{v^2},$ $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$
l) $v_0 = v + g\cdot t,$ $g = \frac{v_0-v}{t},$ $t = \frac{v-v_0}{g}$
m) $F = D \cdot s,$ $s = \frac{F}{D}$

n) $f =\frac{bg}{b+g}, g = \frac{bf}{b-f}, b = \frac{fg}{g-f}$

Aufgabe 3

Bearbeite im Buch die Aufgaben S. 131 / 3, 4, 5 , 6

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S. 131/3
$D = \frac{F}{s}$ löst man nach s auf. Es ist $s=\frac{F}{D}=\frac{7,5N}{30\frac{N}{m}}=0,25 m$

S. 131/4
$v = \frac{s}{t}$ nach t aufgelöst ist $t = \frac{s}{v}$ .
Zeit t₁ für den Hinweg $t_1 = \frac{45km}{75\frac{km}{h}}=0,6h$
Zeit t₂ für den Rückweg $t_2 = \frac{45km}{60\frac{km}{h}}=0,75h$
Gesamtzeit t = 0,6h + 0,75h = 1,35h und Durchschnittsgeschwindigkeit $v_D=\frac{90km}{1,35h}=66\frac{2}{3}\frac{km}{h}$ .
Arithmetisches Mittel $\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{75\frac{km}{h}+60\frac{km}{h}}{2}=67,5\frac{km}{h} \neq 66\frac{2}{3}\frac{km}{h}$

S. 131/5
a) Die Linsengleichung nach f aufgelöst ergibt $f =\frac{bg}{b+g}$ (siehe Aufgabe 2). Es ist $f =\frac{8,0cm \cdot 12cm}{8cm +12 cm}=4,8cm$
b) Die Gleichung nach G aufgelöst ergibt $G = \frac{Bg}{b}$ und $G = \frac{2,4cm \cdot 12 cm}{8cm}=3,6cm$ .