M11 dreidimensionales Koordinatensystem

Wir erweitern unser zweidimensionales xy-Koordinatensystem durch eine dritte z-Koordinate.

In Geogebra klicken Sie das Fenster "Grafik" weg und wählen im Menü "Ansicht" die Auswahl "3D Grafik" aus. Geben Sie unten in der Eingabezeile A=(1,2,3) ein. Nun wird der Punkt A eingezeichnet. Sie können nun durch Drehen die Lage des Koordinatensystems ändern und erkennen, dass die rote Achse die x-Achse, die grüne Achse die y-Achse und die blaue Achse die z-Achse ist. Es wird nun ein räumliches Koordinatensystem angezeigt.

Um mit unserem Buch konform zu sein, nennen wir die x-Koordinate nun x₁-Koordinate, die y-Koordinate nun x₂-Koordinate und die z-Koordinate nun x₃-Koordinate.
Für unseren Punkt A(1;2;3) bedeutet dies, dass x₁=1, x₂=2 und x₃=3 ist.
In GeoGebra ist die x₁-Achse rot, die x₂-Achse grün und die x₃-Achse blau.

Die x₁-Koordinate des Punktes P(2;4;5) ist (!4) (2) (!5)

Die x₃-Koordinate des Punktes P(-1;24;5) ist (!-1) (5) (!24)

Die x₂-Koordinate des Punktes P(2;-4;-5) ist (!2) (-4) (!-5)

Beim Punkt P(-3;4;12) ist 12 welche Koordinate? (!x₁) (!x₂) (x₃)

Bei P(-1;24;5) ist 24 welche Koordinate? (!x₁) (x₂) (!x₃)

Bei P(-3;21;2) ist -3 welche Koordinate? (x₁) (!x₂) (!x₃)

Merke Wir vereinbaren zum Zeichnen eines dreidimensionalen Koordinatensystems die x2x3-Ebene als Zeichenebene (Heftebene). Die x1- und x2-Achse werden normalerweise jeweils nach 2 Kästchen vom Ursprung mit 1 bezeichnet. Die x1-Achse geht unter einem 45°-Winkel schräg nach vorne links. Eine Kästchendiagonale hat die Längeneinheit 1.

  Aufgabe 1

Bearbeiten Sie im Buch S. 89/5.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) R(2;-2;0), H(2;2;0), A(-2;2;0), E(-2;-2;0), T(2;-2;4), I(2;2;4), C(-2;2;4), U(-2;-2;4), S(0;0;7)
Das Turmvolumen ist $V=4\cdot 4 \cdot 4+\frac{1}{3}\cdot 4\cdot4 \cdot 3=80 (VE)$
b) S(4;-4;0), T(4;4;0), E(0;4;0), V(0;-4;0), I(0;-4;3), N(0;4;3)

Der Oberflächeninhalt des Prismas ist $O=8\cdot 4 +8\cdot 5 + 8 \cdot 3 + 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cot 3=108 (FE)$

Merke Der Abstand zweier Punkte P(p1;p2;p3) und Q(q1;q2;q3) ist nach dem Satz von Pythagoras $\overline {PQ}=\sqrt{(q_1 - p_1)^2+(q_2 - p_2)^2+(q_3 - p_3)^2}$

  Aufgabe 2

1. Berechne die Länge der Strecke [OA], wobei O(0;0;0) der Ursprung ist. 2. Berechne die Länge der Strecke [AB] mit A(1;2,3) und B(4;5;6)
3. Berechne die Länge der Strecke [AC] mit A(1;2;3) und C(-1;2;-3).
4. Berechne die Länge der Strecke [AD] mit A(1;2;3) und D(-1,5;-3).

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Die Strecke [OA] ist die Diagonale in einem Quader mit den Seitenlängen 1, 2 und 3.
Es ist $\overline {OA}=\sqrt {1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14}$

2. Die Strecke [AB] ist die Diagonale in einem Quader mit den Seitenlängen, 3, 3 und 3

Es ist $\overline {AB}=\sqrt {3^2+3^2+3^2} = 3\sqrt{3}$

3. Die Strecke [AC] ist die Diagonale in einem Quader mit den Seitenlängen 2, 0 und 6, also einem Rechteck.

$\overline {AC}=\sqrt {2^2+6^2} = 2\sqrt{10}$

4. Die Strecke [AD] ist die Diagonale in einem Quader mit den Seitenlängen 2, 3 und 6, also einem Rechteck.

$\overline {AD}=\sqrt {2^2+3^2+6^2} = \sqrt{49}=7$

Um weiter mit unserem Buch konform zu sein, vereinbaren wir, dass wir ein dreidimensionales Koordinagensystem so zeichnen, dass die x₁-Achse schräg nach vorne zeigt, die x₂-Achse nach rechts und die x₃-Achse nach oben.

Die Koordinatenebenen zerlegen den Raum in acht Teile, sogenannte Oktanten.

Bei den Oktanten I bis IV ist x3 stets positiv, bei den Oktanten V bis VIII ist 3 negativ. I. Oktant: x1 > 0, x2 > 0, x3 > > 0 II. Oktant: x1 < 0, x2 > 0, x3 > > 0 III. Oktant: x1 < 0, x2 < 0, x3 > > 0 IV. Oktant: x1 > 0, x2 < 0, x3 > > 0 V. Oktant: x1 > 0, x2 > 0, x3 > < 0 VI. Oktant: x1 < 0, x2 > 0, x3 > < 0 VII. Oktant: x1 < 0, x2 < 0, x3 > < 0 VIII. Oktant: x1 > 0, x2 < 0, x3 > < 0

Durch die Achsen werden drei Ebenen festgelegt:

• x₁x₂-Ebene (rot),
  
• x₁x₃-Ebene (blau),
  
• x₂x₃-Ebene (gelb).

In der Zeichenebene werden durch das xy-Diagramm die Koordinaten von Punkten festgelegt. Die Zeichenebene ist eine Punktmenge von Punkten P(x;y), wobei die Ebeme durch R²={(x;y)|x, y sind reelle Zahlen} beschrieben wird.
Dies übertragen wir auf unseren neuen Raum, den Anschauungsraum. Jeder Punkt P(x₁;x₂;x₃) ist durch seine drei Koordinaten x₁, x₂ und x₃ festgelegt. Die Punktmenge aller Punkte des Raumes ist dann R³={(x₁;x₂;x₃)|x₁, x₂, x₃ sind reelle Zahlen}.