M10 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Mehrstufige Zufallsexperimente
In der neunten Klasse habt ihr schon mehrstufige Zufallsexperimente behandelt.
Merke:
Es gelten bei mehrstufgen Zufallsexperimenten die drei Pfadregeln: 1. Der Summenwert der Wahrscheinlichkeiten auf den Teilpfaden, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist 1. 2. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem produtk der Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad, der zu diesem Ergebnis führt. 3. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für die zugehörigen Ergebnisse. |
Beim Spiel "Mensch ärgere dich nicht" hat man für Franz folgende Situation, die im Baumdiagramm veranschaulicht ist:
Die erste Pfaderegel bedeutet hier, dass vom oberen Verzweigungspunkt ("Franz kommt heraus oder kommt nicht heraus.") die Summe ist.
Für den Verzweigungspunkt "6" bedeutet dies
Die zweite Pfadregel bedeutet hier für das Ergebnis "Franz kommt heraus und schlägt rot."), dass die Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis ist.
Für das Ergebnis "Franz kommt heraus und schlägt grün." ist die Wahrscheinlichkeit .
Mit der dritten Pfadregel erhält man für das Ereignis "Franz kommt heraus und schlägt die rote oder grüne Spielfigur" die Wahrscheinlichkeit .
70/1a = {RRR, RRW, RWR, RWW, WRR, WRW, WWR}
b)
c) P({RRR}) =
d) P("beide weiße Kugeln") = P({RWW, WRW, WWR})=
70/2a = {RRR, RRW, RWR, RWW, WRR, WRW, WW}
b)
c) geschätzt: ?
Man sieht an dem Eingangsbeispiel und den zwei Aufgaben, dass ein weitergehendes Experiment vom vorherigen Ausgang abhängen kann.
Bei "Mensch ärgere dich nicht" kann Franz nur weiterwürfeln, wenn er "6" gewürfelt hat.
Bei den Aufgaben sieht man, dass wenn zwei weiße Kugeln gezogen sind, nur noch rote Kugeln gezogen werden können.
Der weitere Versuchsverlauf hängt also von dem bisherigen Ergebnis/den bisherigen Ergebnissen ab.
Wir betrachten nun die Wahrscheinlichkeiten am Baumdiagramm an folgendem Beispiel:
Max und Moritz ziehen aus einer Lostrommel mit 5 Losen, wobei 2 Gewinnlose und 3 Nieten sind, jeweils ein Los. Max möchte anfangen. Die Trefferwahrscheinlichkeit, das ist die Wahrscheinlichkeit, dass Max ein Gewinnlos zieht, ist für Max dann .
Moritz fühlt sich benachteiligt und sagt: "Wenn Max gezogen hat, sind nur noch 1 Gewinnlos, aber 3 Nieten in der Lostrommel und meine Trefferwahrscheinlichkeit ist ." Fühlt sich Moritz zu Recht benachteiligt?
Im Baumdiagramm schaut das so aus:
Im Baumdiagramm sieht man, dass sich die Wahrscheinlichkeit, dass Moritz ein Gewinnlos zeiht aus zwei Ergebnissen besteht, deren Einzelwahrscheinlichkeiten dann adiiert werden. Es ist . Man spricht hier von der totalen Wahrscheinlichkeit P(Moritz zieht Gewinnlos).
Die Wahrscheinlichkeit , die Moritz in seiner Rechnung berechnet hat, beruht darauf, dass Max schon ein Gewinnlos gezogen hat, dass also schon eine Bedingung vorher eingetreten ist. Daher nennt man diese Wahrscheinlichkeit bedingte Wahrscheinlichkeit .
Ist Das Ereignis A eingetreten, dann wird die Wahrscheinlichkeit, dass danach das Ereignis B eintritt als bedingte Wahrscheinlichkeit bezeichnet und sie wird als geschrieben. Der Index A gibt an, dass das Ereignis B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist, eintritt. ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B unter der Bedingung, dass Ereignis A eingetreten ist. |
Moritz hat also eine bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet. Für seine Chancen ein Gewinnlos zu ziehen ist aber die totale Wahrscheinlichkeit maßgeblich und die ist genauso groß als wie wenn Max anfängt. Also haben Max und Moritz beide die gleiche Wahrscheinlichkeit ein Gewinnlos zu ziehen.
a)Es handelt sich nicht um ein Laplace-Experiment, da die beiden Ergebnisse R und W nicht gleichwahrscheinlich sind. Es ist und .
= {RR, RW, WR, WW}
b)
ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim zweiten Zug eine rote Kugel zieht, wenn man beim ersten Zug schon eine rote Kugel gezogen hatte. Eine rote Kugel ist beim ersten Zug weg. Also sind nur noch 9 Kugeln in der Urne. Dann ist , da von den restlichen 9 Kugel 6 rot sind.
ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim zweiten Zug eine weiße Kugel zieht, wenn man beim ersten Zug schon eine rote Kugel gezogen hatte. Eine rote Kugel ist beim ersten Zug weg. Dann ist , da von den restlichen 9 Kugeln 3 weiß sind.
ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim zweiten Zug eine rote Kugel zieht, wenn man beim ersten Zug schon eine weiße Kugel gezogen hatte. Eine weiße Kugel ist beim ersten Zug weg. Dann ist , da von den restlichen 9 Kugeln 7 rot sind.
ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim zweiten Zug eine weiße Kugel zieht, wenn man beim ersten Zug schon eine weiße Kugel gezogen hatte. Eine weiße Kugel ist beim ersten Zug weg. Dann ist , da von den restlichen 9 Kugeln 2 weiß sind.
ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass beim ersten und zweiten Zug jeweils eine rote Kugel gezogen wurde. Nach der 2. Pfadregel ist
Für die Wahrscheinlichkeit wurde beim ersten Zug bereits eine rote Kugel gezogen und sie gibt nun an, mit welcher Wahrscheinlichkeit nun beim zweiten Zug eine rote Kugel gezogen wird. Es ist .