Ph9 Bewegungen mit konstanter Beschleunigung

Merke Die Formeln für eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung a sind: a = konstant $v = a \cdot t$ oder $a = \frac{v}{t}$ $s = \frac{1}{2}at^2$ , dabei ist v die Geschwindigkeit des Körpers und s der bei der Bewegung zurückgelegte Weg. Für die Beschleunigung a gilt natürlich auch das Newtonsche Kraftgesetz F = ma, also $a=\frac{F}{m}$.

  Aufgabe 1

Buch S. 72 / 2, 4

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

72/2
a) Die Aussage "Ich bin 3m vom Bach entfernt!" ist relativ nichtssagend, da man nicht weiß wie schnell Theo fährt und wie er zum Bach fährt.
Die Aussage "Ich fahre mit 20km/h auf den Bach zu!" ist relativ gefährlich, da er mit $v=20\frac{km}{h}=5,6\frac{m}{s}$ zum Bach hin fährt. Er legt also in 1s über 5m zurück. Da ist er ganz schnell "im Bach".
Die Aussage "Ich bin noch 10m vom Bach entfernt und fahre mit 15 km/h auf den Bach zu!" lässt erwarten, dass nichts passiert, da er mit $v=15\frac{km}{h}=4,2\frac{m}{s}$ auf den Bach zufährt. Er hat also noch über 2s Zeit zum Bremsen.

b) "Ich fahre in den Bach!"

72/4
a) Die Beschleunigungsarbeit ist W = Fs, also W = 4·311kN·3km=3732MJ.
Nach 3km ist idealerweise die gesamte Beschleunigungsarbeit in Bewegungsenergie umgewandet, es ist dann E_kin=3732MJ.
Die Geschwindigkeit, die er damit erreicht ist $v=\sqrt {\frac{2E_{kin}}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 3732\cdot 10^6J}{590\cdot 10^3kg}}=112,5\frac{m}{s}=405\frac{km}{h}$

b) Wenn die Abhebegeschwindigkeit 260 km/h ist, dann ist die Geschwindigkeit, die 35% darüber liegt v = 351 km/h = 97,5 m/s.
Die Bewegungsenergie, die der A380 dabei hat ist $E_B=\frac{1}{2}590\cdot 10^3(97,5\frac{m}{s})^2=2,8\cdot 10^9 J$.
Beschleunigungsarbeit W erzeugt diese Bewegungsenergie. Bei konstanter Schubkraft ist W = Fs, also W = E_B und $s=\frac{E_B}{F}=\frac{2,8 \cdot 10^6 J}{4\cdot 311\cdot 10^3 N}=2254,3 m \approx 2,3 km$.
c) Mit deen Energiebetrachtungen kann man die Zeit bis zum Abheben nicht vorhersagen. Die Zeit t kam in keiner Rechnung vor und wurde auch nicht benötigt.

Macht man die Berechnung von b) mit den Bewegungsgleichungen, dann kommt die Zeit t vor.
Die Beschleunigung a ist nach dem 2. Newtonschen Gesetz F = ma gleich $a=\frac{F}{m}=\frac{4\cdot 311\cdot 10^3 N}{590\cdot 10^3 kg}=2,1\frac{m}{s^2}$.
Mit der zweiten Bewegungsgleichung v = at erhält man die Zeit t mit $t=\frac{v}{a}=\frac{97,5\frac{m}{s}}{2,1\frac{m}{s^2}}=46,4s$.

Mit der dritten Bewegungsgleichung $s = \frac{1}{2}at^2$ erhält man $s = \frac{1}{2}2,1\frac{m}{s^2}(46,4s)^2 = 2261m \approx 2,3km$

Die Beschleunigung a eines Körpers bewirkt eine Geschwindigkeitsänderung $\Delta$ v in der Beschleunigungszeit $\Delta$t. Es ist $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$. Im tv-Diagramm wird eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung als Gerade dargestellt.

Hat zu Beginn der Beschleunigung ein Körper die Geschwindigkeit v_start und am Ende des Beschleunigungsvorgangs v_ende, dann ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit v_D der Mittelwert von Start- und Endgeschwindigkeit. Es ist also $v_D=\frac{v_{start}+v_{ende}}{2}$.

Merke Die Durchschnittsgeschwindigkeit $v_D$ eines in der Zeit $\Delta$t konstant beschleunigten Körpers ist $v_D=\frac{v_{start}+v_{ende}}{2}$ .