Ph9 Bewegungen mit konstanter Beschleunigung

Merke Die Formeln für eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung a sind: a = konstant $v = a \cdot t$ oder $a = \frac{v}{t}$ $s = \frac{1}{2}at^2$ , dabei ist v die Geschwindigkeit des Körpers und s der bei der Bewegung zurückgelegte Weg. Für die Beschleunigung a gilt natürlich auch das Newtonsche Kraftgesetz F = ma, also $a=\frac{F}{m}$.

  Aufgabe 1

Buch S. 72 / 2, 4

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72/2
a) Die Aussage "Ich bin 3m vom Bach entfernt!" ist relativ nichtssagend, da man nicht weiß wie schnell Theo fährt und wie er zum Bach fährt.
Die Aussage "Ich fahre mit 20km/h auf den Bach zu!" ist relativ gefährlich, da er mit $v=20\frac{km}{h}=5,6\frac{m}{s}$ zum Bach hin fährt. Er legt also in 1s über 5m zurück. Da ist er ganz schnell "im Bach".
Die Aussage "Ich bin noch 10m vom Bach entfernt und fahre mit 15 km/h auf den Bach zu!" lässt erwarten, dass nichts passiert, da er mit $v=15\frac{km}{h}=4,2\frac{m}{s}$ auf den Bach zufährt. Er hat also noch über 2s Zeit zum Bremsen.

b) "Ich fahre in den Bach!"

72/4
a) Die Beschleunigungsarbeit ist W = Fs, also W = 4·311kN·3km=3732MJ.
Nach 3km ist idealerweise die gesamte Beschleunigungsarbeit in Bewegungsenergie umgewandet, es ist dann E_kin=3732MJ.
Die Geschwindigkeit, die er damit erreicht ist $v=\sqrt {\frac{2E_{kin}}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 3732\cdot 10^6J}{590\cdot 10^3kg}}=112,5\frac{m}{s}=405\frac{km}{h}$

b) Wenn die Abhebegeschwindigkeit 260 km/h ist, dann ist die Geschwindigkeit, die 35% darüber liegt v = 351 km/h = 97,5 m/s.
Die Bewegungsenergie, die der A380 dabei hat ist $E_B=\frac{1}{2}590\cdot 10^3(97,5\frac{m}{s})^2=2,8\cdot 10^9 J$.
Beschleunigungsarbeit W erzeugt diese Bewegungsenergie. Bei konstanter Schubkraft ist W = Fs, also W = E_B und $s=\frac{E_B}{F}=\frac{2,8 \cdot 10^6 J}{4\cdot 311\cdot 10^3 N}=2254,3 m \approx 2,3 km$.
c) Mit deen Energiebetrachtungen kann man die Zeit bis zum Abheben nicht vorhersagen. Die Zeit t kam in keiner Rechnung vor und wurde auch nicht benötigt.

Macht man die Berechnung von b) mit den Bewegungsgleichungen, dann kommt die Zeit t vor.
Die Beschleunigung a ist nach dem 2. Newtonschen Gesetz F = ma gleich $a=\frac{F}{m}=\frac{4\cdot 311\cdot 10^3 N}{590\cdot 10^3 kg}=2,1\frac{m}{s^2}$.
Mit der zweiten Bewegungsgleichung v = at erhält man die Zeit t mit $t=\frac{v}{a}=\frac{97,5\frac{m}{s}}{2,1\frac{m}{s^2}}=46,4s$.
Mit der dritten Bewegungsgleichung $s = \frac{1}{2}at^2$ erhält man $s = \frac{1}{2}2,1\frac{m}{s^2}(46,4s)^2 = 2261m \approx 2,3km$

  Aufgabe 2

Berechne
1. die Beschleunigung des Autos.
2. die Geschwindigkeit des Blumentopfes.
3. den Anhalteweg.

Fülle den Lückentext aus.

Bearbeite das Quiz.

Ein ICE fährt mit einer Geschwindigkeit $v = 200\frac{km}{h}$ durch einen Bahnhof.

Danach beschleunigt er mit der Beschleunigung $a = 0,1\frac{m}{s^2}$ wieder auf $v_1=250\frac{km}{h}$.
Welche Wegstrecke s legt er dabei zurück?
Dieses Problem können wir mit den Bewegungsgleichungen, wie sie oben stehen nicht lösen.
Wir können aber die Zeit $\Delta$t , die der Beschleunigungsvorgang dauert berechnen. Löst man die Gleichung der Beschleunigung $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ nach $\Delta$t auf, so erhält man $\Delta t = \frac{\Delta v}{a}=\frac{\frac{50}{3,6}\frac{m}{s}}{0,1\frac{m}{s^2}}=139s$.

Nun stellen wir folgende Überlegung an und führen die Durchschnittsgeschwindigkeit ein.

Die Beschleunigung a eines Körpers bewirkt eine Geschwindigkeitsänderung $\Delta$ v in der Beschleunigungszeit $\Delta$t. Es ist $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$. Im tv-Diagramm wird eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung als Gerade dargestellt.

Hat zu Beginn der Beschleunigung ein Körper die Geschwindigkeit v_start und am Ende des Beschleunigungsvorgangs v_ende, dann ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit v_D der Mittelwert von Start- und Endgeschwindigkeit. Es ist also $v_D=\frac{v_{start}+v_{ende}}{2}$.

Merke Die Durchschnittsgeschwindigkeit $v_D$ eines in der Zeit $\Delta$t konstant beschleunigten Körpers ist $v_D=\frac{v_{start}+v_{ende}}{2}$ .

Gehen wir nun zurück zu unserem ICE. Da wir Anfangs- und Endgeschwindigkeit kennen ist für den Beschleunigungsvorgang des ICE die Durchschnittsgeschwindigkeit des ICE $v_D=225\frac{km}{h}$. Das ist die konstante Geschwindigkeit, mit der der ICE in der gleichen Zeit dieselbe Strecke zurücklegt. Das ist also eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit und da können wir die Gleichung $s = v_D \Delta t$ verwenden. Es ist damit $s = \frac{225}{3,6}\frac{m}{s}\cdot 139s = 8687,5m \approx 8,7km$.
Also legt der ICE während des Beschleunigungsvorgangs knapp 9km zurück.

  Aufgabe 3

Buch s. 77 / 1

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Es geht hier um einen Bremsvorgang, also ist die Beschleunigung a negativ.
Aus dem ersten Absatz kann man entnehmen, dass das Schiff bei einer Länge von 397m nach 15·397m = 5955m ≈ 6km zum Stehen kommen muss.
Bei volle Fahrt hat das Schiff die Geschwindigkeit 27 Knoten, das ist $v= 27\cdot 1,852\frac{km}{h}=50,0\frac{km}{h}=13,9\frac{m}{s}$.
a) Die Bremskraft ist F = m·a.
Lösung mit EES: Die Bewegungsenergie wird durch Bremsarbeit vernichtet. $E_B=F\cdot s$, also $F=\frac{E_B}{s}=\frac{\frac{1}{2}mv^2}{s}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 0,19\cdot 10^9 kg\cdot (13,9\frac{m}{s})^2}{5955m}=3,08\cdot 10^6N \approx 3MN$.
b) Nun ist die Bremskraft $F=0,3MN = 0,3 \cdot 10^6N$. Dann ist die Abbremsbeschleunigung $a = -\frac{F}{m}=-\frac{0,3\cdot 10^6 N}{0,19\cdot 10^9 kg}=-0,00158\frac{m}{s^2}$.
Mit $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ kann man nun die Zeit für den Bremsvorgang $\Delta t = \frac{\Delta v}{a}=\frac{0\frac{m}{s}-13,9\frac{m}{s}}{-0,00158\frac{m}{s^2}}=8797,5s=2h26min37,5s$
Welchen Weg legt bei diesem Bremsvorgang das Schiff zurück?
Am besten rechnet man hier von hinten. Man beschleunigt mit $a=0,00158\frac{m}{s^2}$ in der Zeit $\Delta t=8797,5s$ von $0\frac{m}{s}$ auf $v_1=13,9\frac{m}{s}$. Also ist $s=\frac{1}{2}\cdot a \cdot t^2 = \frac{1}{2}\cdot 0,00158\frac{m}{s^2}\cdot (8797,5s)^2=61142,8m$.
Der Bremsweg ist also über 61 km lang.
c) Nun wird das Schiff mit einer Kraft F = 150kN von $0\frac{m}{s}$ auf $v_1=13,9\frac{m}{s}$ beschleunigt. Die Beschleunigung a ist $a= \frac{F}{m}=\frac{150\cdot 10^3 N}{0,19\cdot 10^9 kg}=0,000789 \frac{m}{s^2} =0,789\cdot 10^{-3}\frac{m}{s^2}$ und damit ist $\Delta t = \frac{\Delta v}{a}=\frac{13,9\frac{m}{s}}{0,789\cdot 10^{-3}\frac{m}{s^2}}=17617,2s=4,9h$. Der Beschleunigungsvorgang dauert fast 5 Stunden.

Dabei legt das Schiff die Strecke $s=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}\cdot 0,789\cdot 10^{-3}\frac{m}{s^2}\cdot (17617,2s)^2=122439m$ zurück, also fast 123km.