Ph10 Zentripetalkraft

Damit ein Körper sich auf einer Kreisbahn bewegt muss eine Kraft wirken. Vom Trägheitssatz wissen wir, dass ein Körper, auf den keine Kraft wirkt sich geradlinig weiterbewegt oder in Ruhe ist. Da eine Kreisbahn nicht geradlinig ist, muss also bei einer Kreisbewegung eine Kraft wirken. Diese Kraft ist stets zum Drehzentrum gerichtet und von konstantem Betrag.

Diese Kraft ist etwas bei einem Karussell die Zugkraft eines Seils oder einer Stange zwischen dem Drehzentrum und dem Körper, oder bei einer Kurvenfahrt eines Fahrrads oder Autos die Haftreibung zwischen den Reifen und der Straße.

Merke: Die Kraft, die einen Körper auf eine Kreisbahn zwingt, ist die Zentripetalkraft FZ. Die Kraft siehst du in folgendem Video für verschiedene Drehgeschwindigkeiten.

Versuch Die Zentripetalkraft merkst du, wenn du eine Kurve läufst. 1. Gehe in gerader Haltung( du bist gerade und senkrecht zum Boden) eine Kurve zu gehen. Gehe zuerst ganz langsam und werde dann schneller. Was stellst du fest? 2. Zeichne auf der Straße einen Kreis mit Radius 2m und renne entlang dieses Kreises. Was kannst du über deine Haltung aussagen?

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1. In gerader Haltung kann man nur ganz langsam einen Kreis gehen. Will man schneller gehen muss man seine Körperhaltung zum Kreismittelpunkt neigen.

2. Wenn man entlang eines Kreises rennt, muss mann sich nach innen neigen.

Versuch

Merke: Bewegt sich ein Körper auf einer Kreisbahn vom Radius r mit a) der Bahngeschwindigkeit v, dann ist die Zentripetalkraft $F_Z=m\cdot \frac{v^2}{r}$. b) mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$, dann ist die Zentripetalkraft $F_Z=m\cdot \omega^2 \cdot r$.

Versuch Verifiziere die zwei Kraftformeln für die Zentripetalkraft mit den Applets auf der Seite von Leifiphysik. Für die 1. Formel $F_Z=m\cdot \frac{v^2}{r}$ verwende Abb.2, für die 2. Formel $F_Z=m\cdot \omega^2 \cdot r$ verwende Abb.3. Auf dieser Seite von Leifiphysik ist ein Versuch dargestellt, mit dem man die Formeln experimentell bestimmen kann.

Auf Volksfesten hast du schon Kreisbewegungen selbst mit gemacht. Und da hast du sicher stets eine auf dich wirkende Kraft gespürt, die nach außen wirkt. Unsere Zentripetalkraft wirkt aber nach innen? Wie passt das zusammen?
Das hängt damit zusammen, dass wir unsere Versuche bisher immer von außen angesehen haben und damit ein Körper sich auf einer Kreisbahn bewegt, muss die Zentripetalkraft nach innen wirken. Wenn du aber selbst der Körper bist, spürst du eine Kraft nach außen, die sogenannte Zentrifugalkraft. Wir haben aber hier zwei verschiedenen Versuche. Einmal beobachten wir von außen den Versuch, beim anderen Versuch sind wir daran direkt beteiligt. Wir sind also in verschiedenen Bezugssystemen. Dies hat zur Folge, dass wir die wirkende Kraft anders wahrnehmen.

Dieser Sachverhalt wird auf der Seite von Leifiphysik nochmals erklärt. Die Wirkung der Zentrifugalkraft siehst du auch in diesem Video. Die zwei Kugeln werden nach außen gehoben. Das ist die Zentrifugalkraft.

Allerdings sehen wir als Betrachter von außen, dass die Kugeln nicht wegfliegen, also durch eine Kraft auf der Kreisbahn gehalten werden. Das ist die Zentripetalkraft.

  Aufgabe 1

1. Bearbeite diese historische Aufgabe.
Wer bringt die zum Kreismittelpunkt wirkende Zentripetalkraft auf? Wer ist das Seil oder die Stange, die den Körper auf der Kreisbahn hält.

2. Bearbeite die Aufgabe zur Erdrotation.

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1. Die Zentripetalkraft wird durch die Erdanziehungskraft (Gewichtskraft des Körpers) aufgebracht. Diese ist auf einer festen Kreisbahn um die Erde konstant und stets zum Erdmittelpunkt gerichtet.

Merke Betrchtet man ein rotierendes System von außen, dann sieht man die Wirkung der Zentripetalkraft. Ist man im rotierenden System, so merkt man selbst die Zentrifugalkraft.

  Aufgabe 2

a) Wie groß ist die Zentripetalkraft auf eine Person mit m = 70kg in Rothenburg durch die Erdrotation?
b) Die Person ist in einem rotierenden Bezugssystem. Also wirkt für sie die Zentrifugalkraft nach außen. Wieso fliegt die Person nicht weg?
c) Wie schnell müsste sich die Erde drehen, damit die Zentripetalkraft genauso groß ist wie die Erdanziehungskraft? Berechne für die Fall die Umlaufdauer T.

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a) Durch die Erdrotation bewegen wir uns in Rothenburg auf einem Kreis mit Radius r um die Rotationsachse.

Der Radius r ist durch den Erdradius R = 6370km und dem Breitengrad \alpha = 49,38^o bestimmt. Es ist r = R\cdot cos(\alpha) = 6370 km \cdot cos(49,38^o)=4147km. In T = 24h dreht sich die Erde einmal um ihre Achse.

Die Zentripetalkraft $F_Z$ ist $F_Z=m\omega^2 r=m(\frac{2\pi}{T})^2r=70kg\cdot\frac{4\pi^2}{(86400s)^2}\cdot 4,147\cdot 10^6m= 1,5N$

b) Die Zentrifugalkraft hat den gleichen Betrag wie die Zentripetalkraft. Die Zentrifugalkraft auf die Person ist also $F_{Zentrifugal}=1,5N$ und damit ist sie sehr viel kleiner als die Gewichtskraft $G = mg = 686N$ der Person. Es ist $\frac{F_{Zentrifugal}}{G}=\frac{1,5N}{686N}=0,0022\approx 0,2%$.

c) Die Zentripetalkraft bringt die Gewichtskraft (Erdanziehungskraft) der Person auf. Die Erdanziehungskraft wirkt wie ein Seil, das die Person zum Erdmittelpunkt zieht.
Damit die Person schwebt muss die Bedingung $F_Z=G$ erfüllt sein, die Zentripetalkraft ist genauso groß wie die Erdanziehungskraft.
$F_Z=G$
$m\omega^2 r=mg$
$(\frac{2\pi}{T})^2r=g$
$T=\sqrt {\frac{4\pi^2\cdot r}{g}}=\sqrt {\frac{4\pi^2\cdot 4,147\cdot 10^6m}{9,8\frac{m}{s^2}}}=4087,3s)\approx1h 8min$

Hier wurde nicht berücksichtigt, dass die Richtungen der Gewichtskraft G und der Zentripetalkraft F_Z unterschiedlich sind. G ist in Richtung Erdmittelpunkt, F_Z geht radial (senkrecht zur Rotationsachse) nach außen.

  Aufgabe 3

Schaue dir den Video über die Schwerelosigkeit in der ISS an.

Die ISS umkreist die Erde in ca. 400 km Höhe über der Erdoberfläche und benötigt T = 93 min für einen Umlauf. a) Wie kommt diese Schwerelosigkeit zustande?
b) Berechne die Gewichtskraft (Erdanziehungskraft) in der ISS mit Hilfe des Newtonschen Gravitationsgesetzes $G = \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2}$, dabei ist $\gamma = 6,67\cdot 10^{-11}\frac{Nm^2}{kg}$ die Gravitationskonstante, $m_1=m_{Erde}=5,972\cdot 10^{24}kg, m_2=m_{Person}=70kg$ und $r$ ist der Abstand zum Erdmittelpunkt, $r =R_E + h = 6370km + 400km=6770km$.
Was stellst du fest? Ist der Astronaut wirklich "schwerelos" in der ISS?
c) Wie groß ist die Zentripetalkraft, die auf einen Astronauten (m = 70kg) in der ISS wirkt?
Wie kommt die "Schwerelosigkeit" in der ISS zustande?

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a) ---
b) $G = \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2}=6,67\cdot 10^{-11}\frac{Nm^2}{kg} \cdot \frac{5,972\cdot 10^{24}kg \cdot 70kg}{(6,770\cdot 10^6 m)^2}=608N$
Die Gewichtskraft G_ISS des Astronauten in der ISS ist fast genauso groß wie die Gewichtskraft G_Erde des Astronauten auf der Erde. Sie ist G_ISS=0,89 G_Erde , also ist der Astronaut nicht schwerelos.

c) Wie kommt nun die im Video gesehene Schwerelosigkeit zustande?
Man berechnet die Zentripetalkraft $F_z=,\omega^2 r=70kg\cdot\frac{4\pi^2}{(5580s)^2}\cdot 6,77\cdot^106m=601N$
Es ist $F_Z \approx G_{ISS}$. Die Erdanziehungskraft wird fast vollständig für die Zentripetalkraft aufgebraucht. Daher hat man den Eindruck, dass die Astronauten und Gegenstände in der ISS schwerelos sind.