Abstands- und Winkelbestimmungen

Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.

Hintergrund zur Hesseschen Normalenform (HNF):

Wir kennen die Normalenform einer Ebenengleichung. $\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})=0$.
Normiert man den Normalenvektoer $\vec{n}$, also $\vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}$, dann erhält man einen Vektor $\vec{n}^o$, der die gleiche Richtung wie der Normalenvektor $\vec{n}$ und die Länge $\vert \vec{n}^o \vert =\frac{\vert \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}=1$ hat.
Mit dem Vektor $\vec{n}^o$ erstellt man ebenso eine Normalenform $\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})=0$ der Ebene. Man kann dies umformen und in Koordinatenschreibweise angeben:
$\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} = \frac{n_1 x_1+n_2 x_2 + n_2 x_3-(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3)}{\vert \vec{n} \vert} = 0$

Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ ist. Das ist so festgelegt. In der HNF in Koordinatenschreibweise muss also vor der Konstanten $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ ein Minuszeichen stehen!

  Aufgabe

Geben Sie die Hessesche Normalenform an:
a) 2x₁+ x₂ - 2x₃ - 4 = 0 b) 3x₁+ x₂ - 20x₃ + 45 = 0

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a) $\frac{2 x_1+ x_2 -2 x_3 - 4}{3} = 0$

b) $-\frac{3 x_1 + x_2 -20 x_3 + 45}{\sqrt{410}} = 0$ Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF $\frac{-3 x_1 - x_2 + 20 x_3 - 45}{\sqrt{410}} = 0$

  Aufgabe

Für die erste Ebene steht in der Normalenform -4, also ist das Skalarprodukt $\vec{n} \circ \vec{a} = 4$, positiv.
Betrachten Sie für diese Ebene den den Normalenvektor $\vec{n}$ und den Vektor $\vec{a}$ . Hier ist der Normalenvektor

.

Was stellen Sie fest?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Man sieht, dass beide Vektoren vom Urprung aus in die gleiche durch die Ebene E erzeugte Halbebene zeigen. $\vec{n}$ und $\vec{a} > 0$ haben in etwa "die gleiche Richtung", das Skalarprodukt ist positiv.

Die Festlegung