Abstands- und Winkelbestimmungen
Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.
Die Hessesche Normalenform (HNF)
Aufgaben
S. 153/1
a) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Man kann die Rechnung auch ohne Betragstriche machen. Ergibt sich ein negatives Ergebnis wie hiernimmt man hiervon den Betrag.
Der Abstand des Punktes P(6;-1;9) von der Ebene E ist
b) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Der Punkt P(7;7;2) hat von E den Abstand .
c) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E . Der Ursprung liegt in der Ebene E.
Der Punkt P(-1;1;3) hat von E den Abstand .
d) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Der Punkt P(4;-1;2) hat von E den Abstand .
O und P liegen jeweils im Abstand 2 in verschiedenen Halbräumen zur Ebene E.
![Abstand](/images/thumb/c/cc/153-1d.jpg/300px-153-1d.jpg)
S. 153/2
(1) Wegen steht der Richtungsvektor
der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor
der Ebene E.
ist also komplanar zu den Richtungsvektoren der Ebene E.
Die Ebene E hat als HNF .
Für den Stützpunkt A(7;-13;-4) der Gerade g berechnet man
, also liegt A nicht in E und g ist echt parallel zu E. Das g echt parallel zu E ist, hat g auch den Abstand 18 zur Ebene E.
Wird g senkrecht auf E projeziert, dann wird in Richtung des Normalenvektors projeziert. Fällt man von A das Lot auf E, dann erhält man den Lotfusspunkt L durch 2(7+2k)-2(-13-2k)-(-4-k)+10=0 und k = -6 und L(-5;-1;2). Damit hat man für g* den Stützpunkt. Ihr Richtungsvektor ist derselbe wie bei g, da er "in E liegt" (ist komplanar zu den Richtungsvektoren von E). Die senkrechte Projektion von g in die Ebene E ist dann
.
(2) Analog geht man hier vor.
.
HNF von E: .
k + (7+k) + (-1+k) + 12 = 0 --> k = -6 und L(-6;1;-7)
![g^*: \vec{x}=\left( \begin{array}{c} -6 \\\ 1 \\\ -7 \end{array}\right) + r \left( \begin{array}{c} -5 \\\ 6 \\\ -1 \end{array}\right)](/images/math/7/c/2/7c21a8047674f92c499d9169cce3a536.png)
S. 154/4
Die Ebene E hat HNF .
Für diese Gleichung hat man also einen Normaleneinheitsvektor
.
Zu einer zu E parallelen Ebene im Abstand 9 kommt man, wenn man neun mal diesen Normaleneinheitsvektor oder
aneinandersetzt.
Deren HNF sind dann oder
. (Berechnet man den Abstand des Ursprungs O (liegt in E) von diesen Ebenen kommt jeweils 9 heraus!)
Schreibt man die Ebenengleichungen nur als Normalenform analog der Ebenengleichung für E, dann lauten sie und
.
Bei gleichen Objekten (Gerade - Gerade) bzw. (Ebene - Ebene) wird cos zur Winkelberechnung verwendet. Bei ungleichen Objekten (Gerade - Ebene) wird sin zur Winkelberechnung verwendet. |
S. 154/6
a) Gleichsetzen der zwei Geradengleichungen liefert den Schnittpunkt (S(1;-1;0).
Für den Schnittwinkel interessieren nur die Richtungsvektoren der Geraden. Man erhält ihn aus . Es ist
.
Ich lasse die Betragsstriche meist weg. Ist das Ergebnis für cos oder sin negativ, dann nimmt man einfach hier den Betrag
und erhält dann den spitzen Winkel.
b) S(0;2;-1) und
![\varphi = 50,8^o](/images/math/c/2/c/c2cbfc330d56bbd5b8b270b7b251921f.png)
S. 154/7
a) Setzt man g in E ein, erhält man diese Gleichung 3(1+k) - (-2) - (-k) = 1 und k = -1. S(0;-2;1)
Für den Schnittwinkel interessieren der Richtungsvektor von g und der Normalenvektor der Ebene E. und
![\varphi=71,5^o](/images/math/f/3/1/f31745e01275992d1acd1c8865e83a74.png)
S. 154/8
a) Für den Schnittwinkel interessieren die zwei Normalenvektoren der Ebene. und
b)
c)
d) Hier ist es sinnvoll beide Ebenengleichungen in Normalenform zu schreiben;
E1: 5x1 - 6x2 - 2x3 + 3 = 0 und E2: 2x1 + x3 -3 = 0
![\varphi = 63,7^o](/images/math/e/c/8/ec8c58b57514a5ff28e368c9335e110b.png)
S. 154/9
a) Man hat die Gleichung
Aus der 1. Koordinatengleichung -3 + k = -1 folgt k = 2.
Für die 2. Koordinatengleichung ergibt sich -3 + 14 = a2, also a2=11.
Für die 3. Koordinatengleichung ergibt sich 1 + 6 = 3, also a3=7.
Also ist A(-1;11;7)
b) X ist ein Punkt auf g und hat dem Ortsvektor . Soll X Lotfusspunkt F des Lotes von P auf g sein, dann steht der Vektor
senkrecht auf dem Richtungsvektor
der Geraden. Also muss
sein. Dies führt zur Gleichung
-5 + k + 7(-6 + 7k) + 3(-4+3k) = 0 und -59 + 59k = 0, also k = 1 und F(-2;4;4).
c) Den Spiegelpunkt A* von A bei Punktspiegelung am Zentrum Z = F(-2;4;4) erhält man durch , also A*(-3;-3;1) .
Analog erhält man P*(-6;5;3)
Den Flächeninhalt dieses Parallelogramms kann man nun berechnen.
elementar: Den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet man mit der Formel A = g·h . Also muss man sich überlegen was ist g und was ist h. Die Punkte A, Z und A* liegen auf der Geraden g.
Man sieht, dass die beiden Dreiecke AA*P und AA*P* das Parallelogramm ergeben. Z = F ist der Lotfusspunkt des Lotes von P auf g, also ist die die Höhe des Dreiecks AA*P und
die Grundlinie des Dreiecks . Damit ergbit
![F = \vert \vec{AA^*} x \vec{AP} \vert = \vert \left( \begin{array}{c} -2 \\\ -14 \\\ -6 \end{array}\right) x \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 1 \\\ -1 \end{array}\right) \vert = \vert \left( \begin{array}{c} 20 \\\ 22 \\\ -58 \end{array}\right) \vert = \sqrt{4248} = 6\sqrt{118} \approx 65,2](/images/math/8/2/0/8206046b6052d5a226ba5ec783c0f19a.png)
S. 155/10
a) Es ist (
ist der Normalenvektor der Ebene E), also steht der Vektor
senkrecht zur Ebene E.
Der Mittelpunkt M der Strecke [DD*] erhält man durch seinen Ortsvektor , also M(4;5;5) und M liegt wegen 4·4 - 3·4 + 5 -6 = 0 in der Ebene E, also sind die beiden Punkte D und D* symmetrisch zur Ebene E.
Man kann auch den Abstand der beiden Punkte von der Ebene E berechnen. Die HNF der Ebene E ist
und
. Damit liegen D und D* auch symmetrisch zur Ebene E.
b) Das Vorgehen für die Spiegelung eines Punktes S an einer Ebene ist:
- Fälle von S das Lot auf die Ebene. Dabei ist das Lot l eine Gerade durch S in Richtung des Normalenvektors der Ebene E.
- Bestimme den Lotfußpunkt F als Schnittpunkt der Lotgeraden l mit der Ebene E.
- Den Spiegelpunkt erhält man, indem man den Verbindungsvektor der Punkte S und F über F hinaus nochmals anträgt.
c) Das Vorgehen ist in b) erklärt. Das Lot von P auf E schneidet die Ebene in F(3;1;2) und der Spiegelpunkt ist P*(-4;3;1).
![155-10c](/images/thumb/e/e2/155-10c.jpg/400px-155-10c.jpg)
S. 155/12
S. 155/13
a) Der Mittelpunkt der Kugel ist der Ursprung M(0;0;0). Der Normalenvektor <marh>\vec{n}</math> der Ebene E ist und hat den Betrag 3.
Mit der HNF der Ebene E kann man den Abstand von M zur Ebene E berechnen. Es ist . Damit die Kugel die Ebene berührt muss ihr Radius 3 sein.
Den Berührpunkt erhält man, indem man von M aus ein Lot l auf E errichtet. Dieses Lot hat als Stützpunkt M und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene, also . Setzt man die Koordinaten von l in die Ebenengleichung, erhält man 2·2k - 2(-2k) + k - 9 = 0 und k = 1. Der Berührpunkt B hat die Koordinaten B(2;-2;1).
Analog geht man bei den Aufgaben b) und c) vor.
b) r = und
.
S. 155/15
S. 156/16
Die Ebene E hat Normalenvektor . Der Normaleneinheitsvektor ist
. Der Radius der Kugel ist 7. Geht man nun von S aus 7 mal in Richtung
oder
, dann erhält man die zwei Mittelpunkte M und M*.
Also und M(2;6;23)
Also und M(-2;-6;17).
b) Die Gerade m hat als Stützpunkt M und ihr Richtungsvektor ist der Vektor . Damit ist
.
c) Die Ebene E* ist parallel zur x1x2-Ebene im Abstand 7 (Radius der Kugel), also x3 - 7 = 0 .
Setzt man die x3-Koordinate von m in die Ebenengleichung ein erhält man 23 - 20k - 7 = 0 und . Die Koordinaten von T erhält man, wenn man diesen Wert von k in die Geradengleichung von m einsetzt, also T(4,4;13,2;7) .
![-\vec{n^o}](/images/math/c/f/1/cf1d6ac20e9f7d1736bc660e417c127d.png)
![\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 4,4 \\\ 13,2 \\\ 7 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 6 \\\ 3 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2,4 \\\ 7,2 \\\ 4 \end{array}\right)](/images/math/e/f/8/ef84fbc1df756d25e7e68859f0800184.png)