M8 - Tests zu gebrochen-rationalen Funktionen

Auf dieser Seite kommen noch ein paar Tests, mit denen du schauen kannst wie sicher du im Umgang mit gebrochen-rationalen Funktionen bist.

Zuerst zur Wiederholung:

30px   Merke Die Funktion f hat in x0 eine Nullstelle, wenn f(x0) = 0 ist.

Das hast du bei linearen Funktionen schon kennengelernt.

30px   Aufgabe

Bestimme die Nullstellen der linearen Funktionen f mit
a) f(x) = x - 1
b) f(x) = 2x + 1
c) f(x) = 5x
d) f(x) = 12x - 48
e) f(x) = -2x + 10
f) f(x) = 4 - 0,5x
g) f(x) = -2x -0,25
h) Welche Bedeutung haben die Nullstellen beim Graphen der Funktion?

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a) x = 1
b) x = - 0,5
c) x = 0
d) x = 4
e) x = 5
f) x = 8
g) x = -0,125

h) Die Nullstellen der Funktion geben beim Graphen den Schnittpunkt mit der x-Achse (y=0) an.

Auch für gebrochen-rationale Funktionen kann man falls es Nullstellen gibt diese angeben.

30px   Merke Ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist.

Beispiel: $\frac{2x+1}{x}$ hat den Wert 0, wenn der Zähler 2x+1 = 0 ist, also für x = -0,5.

Merke: Eine gebrochenrationale Funktion besitzt überall dort eine Nullstelle, wo der Zähler den Wert Null annimmt (und der Nenner jedoch ungleich Null ist).

Nimmt der Zähler einer gebrochen-rationalen Funktion für x₀ den Wert 0 an und hat auch der Nenner für x₀ den Wert 0, dann ist x_o eine Definitionslücke und man darf x₀ gar nicht einsetzen. Deshalb ist in dem Merksatz nur in Klammern angemerkt, dass der Nenner bei einer Nullstelle einen Wert ungleich 0 hat.

30px   Aufgabe

Bestimme für die gebrochen-rationale Funktion f zuerst die Definitonslücke und Definitionsmenge und dann die Nullstelle(n)
a) f mit $f(x) = \frac{x}{x-1}$
b) f mit $f(x) = \frac{x-2}{x+1}$
c) f mit $f(x) = \frac{x+2}{x^2+1}$
d) f mit $f(x) = \frac{x^2}{x^2-1}$
e) f mit $f(x) = \frac{2x+1}{x-5}$
f) f mit $f(x) = \frac{3-x}{x-3}$
g) f mit $f(x) = \frac{(x+1)(x-2)}{x-1}$

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a) $f(x) = \frac{x}{x-1}$ hat bei x = 1 eine Definitionslücke, D = Q\{1} und bei x = 0 eine Nullstelle.
b) $f(x) = \frac{x-2}{x+1}$ hat bei x = -1 eine Definitionslücke und D = Q\{-1}; Nullstelle bei x = 2.
c) f mit $f(x) = \frac{x+2}{x^2+1}$ hat keine Definitionslücke, D = Q; Nullstelle bei x = -2
d) $f(x) = \frac{x^2}{x^2-1}$ hat wegen x²-1=(x+1)(x-1) zwei Definitionslücken x = -1 und x = 1, also D = Q\{-1;1} und Nullstelle bei x = 0.
e) $f(x) = \frac{2x+1}{x-5}$ hat bei x = 5 eine Definitionslücke, D = Q\{5} und Nullstelle bei x = - 0,5.
f) f mit $f(x) = \frac{3-x}{x-3}$ hat bei x = 3 eine Definitionslücke, D = Q\{3}. Der Zähler nimmt für x = 3 den Wert 0 an, aber man darf die Definitionslücke ja gar nicht einsetzen, also ist 3 keine Nullstelle!
g) $f(x) = \frac{(x+1)(x-2)}{x-1}$ hat bei x = 1 eine Definitionslücke, D=Q\{1] und bei x = -1 und x = 2 Nullstellen.

Beachte: Ein Produkt hat den Wert 0, wenn ein Faktor den Wert 0 hat!