M8 Term und Graph bei gebrochen-rationalen Funktionen

Auf dieser Seite soll der Zusammenhang zwischen dem Graphen und dem Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion näher untersucht werden. Dabei geht es um zwei Fragestellungen:
1. Wie finde ich aus einem gegebenen Graphen den passenden Funktionsterm.
2. Wie kann man "leicht" aus einem gegebenen Funktionsterm den Graphen angeben.

Zur Beantwortung sind die folgenden Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen hilfreich.
Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist die indirekte Proportionalität $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ . Die Funktion ist für $x \in Q\setminus \left \{ 0 \right \}$ definiert. Die Funktionsgleichung ist $y = \frac{1}{x}$ und der Funktionsgraph

Definitionslücke - senkrechte Asymptote

Die Funktion $g: x \rightarrow \frac{1}{x-b}$ ist für $x = b$ nicht definiert, da wenn man b für x einsetzt im Nenner Null steht. Das ist nicht zulässig! Also ist $D=Q\setminus \left \{ b \right \}$. An der Stelle $x = b$ hat die Funktion $g$ eine Definitionslücke. Der Graph eine senkrechte Asymptote. $x = b$ ist eine Polstelle des Graphen.

  Aufgabe 1

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit $f(x) = \frac{1}{x}$ ( grün) und der Graph der Funktion g mit $g(x) = \frac{1}{x-b}$ ( rot) eingezeichnet. Desweiteren ist die senkrechte Asymptote $x = b$ ( blau) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von b ändern.

Der Schieberegler ist auf b = 0 eingestellt.
1. Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

2. Stelle nun den Schieberegler auf b = 1.
Beschreibe was mit dem Graphen von g und mit der Asymptote passiert, indem du mit dem Graphen von f vergleichst.
Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

Stelle nun den Schieberegler wieder auf b = 0. Die Graphen von f und g liegen nun wieder aufeinander.
3. Stelle nun den Schieberegler auf b = -2.
Beschreibe wieder was mit dem Graphen von g und der Asymptote passiert, indem du mit dem Graphen von f vergleichst.
Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

Stelle nun den Schieberegler wieder auf b = 0. Die Graphen von f und g liegen nun wieder aufeinander.
4. Betätige nun den Schieberegler für b beliebig und beobachte was mit dem Graphen von g und der Asymptote bezüglich des Graphen von f passiert. Beschreibe deine Beobachtungen.

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1. Die Funktionsgleichung ist $g(x) = \frac{1}{x}$ und die Gleichung der Asymptote $x = 0$ .

2. Der Graph von f der indirekten Proportionalität wird um 1 in positive x-Richtung verschoben.
Ebenso wird die Asymptote um 1 in positive x-Richtung verschoben.
Die Funktionsgleichung ist $g(x) = \frac{1}{x-1}$ und die Gleichung der Asymptote $x = 1$ .

3. Der Graph von f der indirekten Proportionalität wird um 2 in negative x-Richtung verschoben.
Ebenso wird die Asymptote um 2 in negative x-Richtung verschoben.
Die Funktionsgleichung ist $g(x) = \frac{1}{x-(-2)}=\frac{1}{x+2}$ und die Gleichung der Asymptote $x = -2$ .

4. Der Graph von f wird um b in x-Richtung verschoben.
Ist b > 0, dann erfolgt die Verschiebung von f um b in positive x-Richtung,
ist b < 0, erfolgt die Verschiebung um den Betrag von b, in negative x-Richtung.

Ebenso wird die Asymptote verschoben.

Merke: Den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{x-b}$ erhältst du aus dem Graphen der von $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x}$ indem du den Graphen von $f$ um $b$ in Richtung der x-Achse verschiebst. Dabei wird die senkrechte Asymptote $x = 0$ ebenso um $b$ in Richtung der x-Achse verschoben und die senkrechte Asymptote von $g$ mit $g(x) = \frac{1}{x-b}$ ist $x = b$. Dabei erfolgt die Verschiebung in Richtung der x-Achse wenn b positiv (b>0) ist in positive x-Richtung und wenn b negativ (b<0) ist in negative x-Richtung.

Zusammenfassung:

Für die anfangs gestellten zwei Fragen hast du nun folgende Antworten:

1. Hat der Graph für $x = b$ eine Definitionslücke und senkrechte Asymptote, dann steht im Nenner der
gebrochen-rationalen Funktion der Term $x-b$ oder eine Potenz $(x-b)^n$.

2. Ist $f(x)=\frac{1}{x-b}$, dann erhältst du den Graphen durch Verschiebung des Graphen von $f$
um b in Richtung der x-Achse. Die Asymptote ist $x=b$

Spiegelung an der x-Achse

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit $f(x) = \frac{1}{x}$ ( grün) und der Graph der Funktion g mit $g(x) = \frac{a}{x}$ ( rot) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von a zwischen den Werten a = -1 und a = 1 ändern.

  Aufgabe 2

Der Schieberegler steht in der Stellung a = 1.
Was passiert mit dem roten Graph, wenn du den Schieberegler auf a = -1 stellst? Beschreibe deine Beobachtung.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Man erhält den roten Graphen für a = -1 , wenn man den grünen Graphen an der x-Achse spiegelt.

Merke: Den (roten) Graphen der Funktion $g$ mit $g(x) = -\frac{1}{x}$ erhältst du aus dem (grünen) Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x}$, in dem du den (grünen) Graphen von $f$ an der x-Achse spiegelst.

Anmerkung:
Du könntest natürlich auch sagen, dass du den grünen Graph an der y-Achse spiegelst. Das Ergebnis ist das gleiche!
Aber wenn du die Funktionsterme anschaust dann hat die Funktion $f$ den Funktionswert $y_f=\frac{1}{x}$. Und die Funktion $g$ hat den Funktionswert $y_g=-\frac{1}{x}$, also ist $y_g=-y_f$, der y-Wert ändert also sein Vorzeichen. Das entspricht der Spiegelung an der x-Achse.