Extremwertaufgaben

Einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 6cm wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass eine Rechteckseite l auf einer Dreieckseite liegt und die anderen Eckpunkte des Rechtecks auf den beiden anderen Dreieckseiten liegen. Im folgenden Applet ist die Situation dargestellt. Die Rechteckseite l liegt auf der Dreieckseite [AB].

Den Punkt E kann man auf der Dreieckseite [AB] bewegen. Dadurch ändert sich das Rechteck der Aufgabe. Über dem Wert der Rechteckseite l wird der Flächeninhalt $A_R$ des Rechtecks aufgetragen. Dies ergibt im Applet den Punkt $A_R$ . Wenn man die Lage des Punktes E ändert, ändert sich auch die Rechteckfläche und der Punkt $A_R$ wandert. Der Punkt $A_R$ hat die Koordinaten $A_R(l;A_R(l))$
Das Rechteck hat Flächeninhalt 0, wenn l = 0 oder l = 6 ist. Gibt es ein Rechteck mit größtem Flächeninhalt?

Für den Punkt $A_R$ im Applet kann man die Spur anzeigen, die sich ergibt, wenn E bewegt wird. Man sieht, dass die Spur eine Parabel ergibt, deren Scheitel bei l = 3 liegt. Man kann auch den Wert von $A_R$ zu $A_R(3)=7,8$ ablesen.
Da der Flächeninhalt $A_R$ des einbeschriebenen Rechtecks von der Seitenlänge l abhängt, kann man eine Funktion $A_R :l \rightarrow A_R(l)$ angeben, die für jeden Wert von $l \in [0;6]$ den Wert $A_R(l)$ angibt. Für diese Funktion gilt es nun den Funktionsterm zu bestimmen.
Der Punkt E kann vom Ursprung bis zum Mittelpunkt der Dreiecksseite [AB] gehen. Seine Koordinaten sind daher $E(3-\frac{l}{2};0)$ .
Die Dreiecksseite [AC] ist Teil einer Gerade, deren Geradengleichung y = mx + t wir bestimmen wollen. Da sie durch den Ursprung geht ist t = 0. Also müssen wir noch die Steigung m der Geraden bestimmen. Da das Dreieck ABC ein gleichseitiges Dreieck ist, wissen wir seit wir den Satz des Pythagoras kennen, dass die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a $h=\frac{a}{2}\sqrt 3$ ist.