M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen

Merke Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen findet man, indem man die Funktionsterme gleichsetzt und die Gleichung nach x auflöst.

  Aufgabe 1

Gemeinsame Punkte einer Parabel mit einer Geraden: Buch S. 100 / 4

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a) $x^2 = -x+2$ liefert eine quadratische Gleichung $x^2 + x -2 = 0$. Die Gleichung lässt sich in Linearfaktoren zerlegen $(x+2)(x-1)=0$ mit den zwei Lösungen $x_1 = -2, x_2 = 1$.
Die gemeinsamen Punkte erhält man indem man die Lösungen in die Geradengleichung einsetzt, sie sind R(-2;4) und T(1;1). (Man könnte die Lösungen auch in den quadratischen Term einsetzen, es müssen die gleichen y-Werte herauskommen.) Die Länge der Strecke [RT] ist $\bar {RT}=\sqrt {(4-1)^2 + (-2-1)^2}=3\sqrt 2$.

b) $2x^2-2=6$ liefert $x^2=4$ mit den Lösungen $x_1=-2, x_2=2$.
R(-2;6), T(2;6) und $\bar {RT}=4$

c) $-x^2 - 9 = -2x -7$ liefert $x^2 - 2x +2 = 0$. Die Diskriminante D dieser Gleichung ist D = (-2)² - 4·2 = 4 - 8 = -4 < 0. Also hat die Gleichung keine Lösung und die Graphen keine gemeinsamen Punkte.

d) $4x^2 + x = 1,5x$ liefert $4x^2 - 0,5x = 0$. Man kann 4x ausklammern: $4x(x - \frac{1}{8})=0$ hat die zwei Löungen $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{8}$.
$r(0;0), T(\frac{1}{8};{3}{16}$ und die Streckenlänge $\bar {RT}=\sqrt {\frac{3}{16}^2 + \frac{1}{8}^2}=\frac{13}{256} \approx 0,05$

e) $\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}=2-x$ liefert $\frac{1}{3}x^2 + x - \frac{4}{3}=0$. Die linke Seite lässt sich umformen in $\frac{1}{3}x^2 + x - \frac{4}{3}=\frac{1}{3}(x^2 + 3x -4)=\frac{1}{3}(x +4)8x-1)$ und man löst die Gleichung $\frac{1}{3}(x +4)8x-1)=0$ mit den zwei Lösungen $x_1=-4, x_2=1$
R(-4;-6) und T(1;1). Die Streckenlänge ist $\bar {RT}=\sqrt {5^2+5^2}=5\sqrt 2 \approx 7,07$.

f) $\frac{1}{2}(x-1)^2 - 1= -0,5x + 2,5$ Multipliziert man die Gleichung mit 2, dann fällt der Bruch $\frac{1}{2}$ weg und man hat $(x^2-2x+1)-2=-x + 5$. Diese Gleichung auf die Form einer quadratischen Gleichung gebracht ergibt $x^2 - x - 6 = 0$ mit den Lösungen $x_=-2, x_2 = 3$

R(-2;3,5) und T(3;1), $\bar {RT}=\sqrt {5^2+2,5^2}=\sqrt{31,25}=\sqrt{\frac{125}{4}}=\frac{5}{2}\sqrt 5 \approx 5,6$

  Aufgabe 2

Gemeinsame Punkte zweier Parabeln: Buch S. 100 / 7

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a)Die beiden Parabeln haben gemeinsame Punkte, da P₂ schlanker als P₁ ist und ihren Scheitel unterhalb vom Scheitel von P₁ hat.
b) P₁ ist nach oben geöffnet und P₂ ist nach unten geöffnet und P₂ hat ihren Scheitel oberhalb des Scheitels von P₁, also müssen sich die beiden Parabeln schneiden.
c) P₁ hat ihren Scheitel bei (0;0) und ist die Normalparabel, also nach oben geöffnet. P₂ hat ihren Scheitel bei (2;-4) und ist nach unten geöffnet. Die beiden Parabeln können sich nicht schneiden.
d) P₁ hat ihren Scheitel bei (1;0) und ist nach oben geöffnet, P₂ bei (-1;0) und ist nachunten geöffnet. Da beide Scheitel den gleichen y-Wert 0 haben und verschiedene x-Werte, können sich die beiden Parabeln nicht schneiden.
e) P₁ ist die Normalparabel, P₂ ist eine schlankere Parabel mit Scheitel (0;1) und beide sind nach oben geöffnet, also können sie sich nicht schneiden.
f) P₁ ist einen nach unten geöffnete weite Parabel mit Scheitel (0;1), P₂ ist nach oben geöffnet mit Scheitel (0;-4). Wegen -4 < 0 schneiden sich die beiden Parabeln.

Rechnungen für a, b, f
a)$x^2 = 2x^2 -4$ liefert $x^2=4$ mit den zwei Lösungen $x_1=-2, x_2=2$
Die Schnittpunkte R(-2;4) und T(2;4) bilden mit den Scheiteln (0;0) und (0;-4) ein Viereck.

b) $x^2 = -x^2 + 4$ liefert $x^2 = 2$ mit den zwei Lösungen $x_1=-\sqrt 2, x_2 = \sqrt 2$.
Die Schnittpunkte $R(-\sqrt 2 , 2), T(\sqrt 2 , 2)$ bilden mit den zwei Scheiteln (0;0) und (0;4) eine Raute mit 2 Symmetrieachsen. Ihr Flächeninhalt ist $A = 4 \sqrt 2$.

f) $-\frac{1}{4} x^2 + 1 = x^2 - 4$ liefert $x^2 =4$ mit den zwei Lösungen $x_1= -2, x_2 = 2$.
Die Schnittpunkte R(-2,0), T(2,0) bilden mit den zwei Scheiteln (0;1) und (0;-4) ein Drachenviereck mit einer Symmetrieachse.

Im folgenden Applet kannst du die Parabeln zu den Aufgaben und gegebenenfalls die Vierecke dir anzeigen lassen.

  Aufgabe 3

Gemeinsame Punkte zweier Funktionsgraphen: Buch S. 101 / 8

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a) $\frac{1}{x}=x$ --> $x^2=1$ und $x_1=-1, x_2=1$.
R(-1;-1) und T(1;1)

b) $\frac{1}{x}=2x$ --> $x^2 = \frac{1}{2}$ und
$R(-\frac{\sqrt 2}{2};\sqrt 2), T(\frac{\sqrt 2}{2};\sqrt 2)$

c) $\frac{5}{x-2}=x+2$ --> $x^2=9$ und $x_1=-3, x_2=3$
R(-3;-1) und T(3;5)

d) $\frac{5}{x+1}=-5$ --> $x = -2$
R(-2;-5)

e) Beim Funktionsterm von f kann man im Zähler 2 ausklammern und dann den Bruch mit x-4 kürzen, also ist f(x) = 2.
$2 = 2x+1$ --> $x=\frac{1}{2}$
$R(\frac{1}{2};2)$

f)

--> $x^2 = -1$ ist nicht lösbar, also kein Schnittpunkt.

g) $-\frac{3}{x} = \frac{1}{x+1}$ --> $x=-\frac{3}{4}$
$R(-\frac{3}{4};4)$

h)