M11 Die Kettenregel

Die Ableitung einer Funktion $f$ , die die Verkettung der Funktionen $u$ und $v$ ist, erhält man mit der Kettenregel. Es ist $f(x)=u \circ v(x)=u(v(x))$ .
Nach der Definition der Ableitung ist $f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ .
Nun muss man dabei beachten was die Funktionen $u$ und $v$ dabei machen.
Wenn $x \to x_0$ ist, dann ist $v(x) \to v(x_0)$ .
$v(x), v(x_0)$ sind die Argumente, die in u eingesetzt werden. Dabei ist dann, wenn $v(x) \to v(x_0)$ ist , auch $u(v(x)) \to u(v(x_0))$ .

Damit kann man den Differenzenquotienten schreiben:
$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{u(v(x)-u(v(x_0))}{x-x_0}=\frac{u(v(x)-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)}\cdot \frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}$ .
Beim letzten Term stimmt der Nenner des ersten Bruches mit den Zähler des 2. Bruches überein.
Der erste Bruch $\lim_{x \to x_0}\frac{u(v(x)-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)}$ bedeutet, dass man $u$ nach $v(x)$ ableitet und der zweite Bruch $\lim_{x \to x_0}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}$ bedeutet, dass man $v$ nach $x$ ableitet.

Also hat man $f'(x)=(u\circ v)'(x)=(u(v(x))'=u'(v)\cdot v'(x)$ .

Merke:

Kettenregel

$f'(x)=(u\circ v)'(x)=(u(v(x))'=u'(v)\cdot v'(x)$ .

Man leitet zuerst die äußere Funktion ab und multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion. Dies nennt man Nachdifferenzieren.

Beispiele:
1.Wir nehmen das Anfangsbeispiel der Seite M11_Verkettung_von_Funktionen
Es ist $f(x)= \sqrt {x^2+1}$ . Dabei ist $u(v)=\sqrt v$ die Funktionsgleichung der äußeren Funktion. Das Argument der Funktion $u$ wurde mit $v$ bezeichnet, damit man sieht, dass die Variable von $u$ nun $v$ (eigentlich $v(x)$ ) ist.
Die innere Funktion hat die Funktionsgleichung $v(x)=x^2+1$ .
Für die Ableitung $f'$ der Funktion $f$ differenziert man die äußere Funktion $u$ nach $v$ . Also ist $u'(v)=\frac{1}{2\sqrt v}$ und multipliziert dieses Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion $u$ nach $x$ , also mit $u'(x) = 2x$ .
Insgesamt erhält man nun $f'(x)=u'(v)\cdot u'(x)=\frac{1}{2\sqrt v} \cdot 2x = \frac{2x}{2\sqrt v}$ . Nun ersetzt man wieder $v$ durch $x^2+1$ und kürzt 2, dann ist das Ergebnis

$f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt {x^2+1}}$ .

2. $f$ mit $f(x)=(5x^2 -3)^{2021}$ ist die Verkettung der Funktion $u$ mit $u(v)=v^{2021}$ mit der Funktion $v$ mit $v(x)=5x^2 -3$ .
Die Ableitung von $u(v)=v^{2021}$ ist $u'(v)=2021v^{2020}$ (Ableitung der äußeren Funktion)
und die Ableitung von $v(x)=5x^2 -3$ ist $v'(x)=10x$ (Ableitung der inneren Funktion).
Die Ableitungsfunktion $f'$ erhält man durch $f'(x)= u'(v) \cdot v'(x)= 2021v^{2020} \cdot 10x$ .
Nun ersetzt man weider $v$ durch $5x^2 -3$ und hat dann die Ableitung der Funktion $f$