M10 Die Exponentialfunktion

Bei den Beispielen zum exponentiellen Wachstum war der Term immer von der Form $y = b \cdot a^x$. Dabei war b der Anfangsbestand und a der Wachstumsfaktor. Diese Gleichung beschreibt einen neuen Funktionstyp. Bei diesen Funktionen steht die Variable x im Exponenten, daher heißen diese Funktionen Exponentialfunktionen.

Merke: Die Funktion $f: R \rightarrow R, f(x) = b\cdot a^x$ (bc ∈ R+\{0}, a ∈ R+) heißt Exponentialfunktion zur Basis a.

  Aufgabe 1

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1. Wieso darf man für die Basis a nur positive reelle Zahlen verwenden?
2. Wie unterscheiden sich die Graphen, wenn a > 1 bzw. a < 1 ist?
3. Welchen Punkt haben alle Graphen der Exponentialfunktionen $f:x \rightarrow a^x$ gemeinsam?
4. Was ist die Funktion $f:x \rightarrow 1^x$?

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Aus den Beispielen kennst du, dass x irgendeine reelle Zahl, also eine negative oder positive Zahl oder 0 sein kann.
Wenn a=0 wäre, was ist dann 0^{^0} oder 0^-1?
0⁰ ist nicht definiert, ebenso wäre $0^{-1}=\frac{1}{0^1}=\frac{1}{0}$ ein nicht definierter Term.
Wenn a eine negative Zahl wäre, z.B. a = -2, was ist dann $a^0,5$?
Für a = -2 hätte man den Term $(-2)^0,5=\sqrt {-2}$, was in den reellen Zahlen nicht möglich ist, dies ist nicht definiert.

2. Wenn a > 1 ist, dann hat man eine monoton steigenden Graphen, wenn a < 1 ist, dann ist der Graph monoton fallend.

3. Alle Graphen haben den Punkt (0;1) gemeinsam.

4. Es ist $1^x=1$, daher ist diese Funktion die konstante 1, also die Funktion, die jedem x fir Zahl 1 zuordnet.

Merke Bei einem Funktionsgraphen geht man bei der Betrachtung immer in x-Richtung von links nach rechts, d.h. die x-Werte nehmen zu, sie werden größer. Ein Graph ist streng monoton fallend, wenn mit zunehmenden x-Werten, die y-Werte kleiner werden. Der Graph ist streng monoton steigend, wenn mit zunehmenden x-Werten, die y-Werte größer werden. Beim grünen Graphen werden die y-Werte immer größer, wenn die x-Werte auch größer werden, der grüne Graph ist streng monoton steigend, beim roten Graphen werden die y-Werte immer kleiner, wenn die x-Werte größer werden (man geht von links nach rechts), der rote Graph ist streng monoton fallend.

  Aufgabe 2

Im folgenden Applet kannst du den Wert der Basis mit dem Schieberegler variieren.

Verifiziere die Aussagen zur Monotonie bei der Exponentialfunktion $f:x \rightarrow a^x$.