M11 Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Die Ableitung der Sinusfunktion

In dem folgenden Applet wird zu jedem Punkt P auf dem Graph der Sinusfunktion $f:x \to sin(x)$ über der x-Koordinate von P die Steigung der Tangente aufgetragen. Bewegt man P auf dem Graphen, dann wird die Spur von A angezeigt.

Merke: Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Es ist (sin x)' = cos x .

Im Buch ist auf S. 137 unter 2. die Herleitung über die Definition der Ableitung nachzusehen

Die Ableitung der Kosinusfunktion

Merke: Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion. Es ist (cos x)' = - sin x .

Man erhält die Ableitung der Kosinusfunktion auch mit Hilfe der Kettenregel. Es ist $cos(x)=sin(\frac{\pi}{2}-x)$ und $sin(x)=cos(\frac{\pi}{2}-x)$. Damit ist die Ableitung $(cos(x))'=(\left ( sin(\frac{\pi}{2}-x) \right)' =cos(\frac{\pi}{2}-x) \cdot (-1)= - cos(\frac{\pi}{2}-x)=- sin(x)$

Die Ableitung der Tangensfunktion

Man weiß $tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}$. Mit der Quotientenregel kann man $tan(x)$ ableiten. Es ist $(tan(x))'=\frac{cos(x)\cdot cos(x) - sin(x)\cdot (-sin(x))}{(cos(x))^2}=\frac{(cos(x))^2+(sin(x))^2}{(cos(x))^2}=\frac{1}{(cos(x))^2}$

Merke: Die Ableitung der Tangensfunktion ist $(tan(x))'= \frac{1}{(cos(x))^2}$ .

Stammfunktionen

Merke: Die Menge aller Stammfunktionen F der Sinusfunktion $f:x \to sin(x)$ ist $F:x \to - cos(x) + C$ Kosinusfunktion $f:x \to cos(x)$ ist $F:x \to sin(x) + C$

Die Stammfunktionen weist man nach, indem man sie ableitet:

• $\left ( - cos(x) + C \right )' = sin(x)$

• $\left ( sin(x) + C \right )' = cos(x)$.