M11 Die Ableitung der Umkehrfunktion

Wiederholung

Die Funktion $f:x \to f(x)$ hat die Umkehrfunktion $f^{-1}$.

In der 9. Klasse hatte man die Quadratfunktion $f: x \to x^2$ mit D = R. Die Umkehrung des Quadrierens ist das Wurzelziehen und man hatte die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Quadratfunktion. Die Wurzelfunktion ist $f^{-1}:x \to \sqrt x$ mit D = $R_0^+$.

  Aufgabe

Bearbeiten Sie die Seiten zur Umkehrfunktion.

Merke: Eine Funktion $f$ ist im Intervall [a;b] umkehrbar, wenn $f$ in dem Intervall [a;b] streng monoton ist.

Die strenge Monotonie erhält man mit Hilfe der Ableitung von f.

Merke Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ zu einer Funktion $f$ findet man immer mit diesen Schritten: 1. Schränke die Definitionsmenge von $f$ so ein, dass $f$ streng monoton ist. 2. Löse die Funktionsgleichung y = f(x) nach x auf. 3. Vertausche x und y. 4. Die Definitionsmenge der eingeschränkten Funktion $f$ ist die Wertemenge der Umkehrfunktion $f^{-1}$ und die Wertemenge von $f$ ist die Definitionsmenge von $f^{-1}$. Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion $f^{-1}$ durch Spiegelung des Graphen der Funktion $f$ an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten.

Auf dieser Seite wird dies an Beispielen erklärt.
Hier sind auch Beispiele ohne Berücksichtigung der Definitionsmenge.

  Aufgabe 1

Bearbeiten Sie diese Arbeitsblätter:
Arbeitsblatt 1, Arbeitsblatt 2.

  Aufgabe 2

Geben Sie für die e-Funktion $f:x \to e^x$ Definitionsmenge D und Wertemenge W an und bestimmen Sie die Umkehrfunktion $f^{-1}$.

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D = R und W = R⁺.
In D = R ist die Exponentialfunktion streng monoton steigend, also umkehrbar.
In der Gleichung y = e^x werden x und y vertauscht und die neue Gleichung nach y aufgelöst.
x = e^y ergibt nach y aufgelöst y = ln(x).

Also ist die Umkehrfunktion f^-1: x --> ln(x) mit Definitionsmenge D_{Umkehrfunktion} = R⁺ und Wertemenge W_{Umkehrfunktion} = R.

Merke Die Umkehrfunktion der e-Funktion $f:x \to e^x$ mit D = R und W = R+ ist die natürliche Logarithmusfunktion $ln:x \to ln(x)$ mit D = R+ und W = R.

Die Ableitung der Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ macht die Wirkung der Funktion $f$ rückgängig. Es ist $\sqrt {x^2}= x$, wenn x positiv ist. Da die Quadratfunktion beim Bilden der Umkehrfunktion auf D = $R_0^+$ eingeschränkt wurde. die die x positiv und die Umkehrung ist in Ordnung.
Wenn man die Verkettung $f\circ f^{-1}$ betrachtet, dann ist $f\circ f^{-1}(x) = f(f^{-1}(x))=x$, da die Verkettung der beiden Funktionen ihre Wirkungen aufheben und man erhält wieder x.

Nun ist $( f\circ f^{-1}(x))' = (f(f^{-1}(x))'=1$.
Ersetzt man $z = f^{-1}(x)$, dann ist $( f\circ f^{-1}(x))' = (f(z))'=f'(z) \cdot z'$. Dabei ist $z'=f^{-1'}(x)$.
Also ist $f'(z) \cdot z' = 1$ und $z'=\frac{1}{f'(z)}$. Ersetzt man wieder z durch $f^{-1}(x)$, dann hat man wegen $z'=f^{-1'}(x)$ die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

Merke: Die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ der Funktion $f$ ist $f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

Beispiele:
1. Die Quadratfunktion $f:x \to x^2$ hat die Umkehrfunktion $f^{-1}:x\to \sqrt x$ (mit passenden Definitionsmengen, die hier nicht interessieren)
Dabei ist $f(x) = x^2$ und $f^{-1}(x) = \sqrt x$.
Desweiteren ist $f'(x) = 2x$.

Nun ist $f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x)} = \frac{1}{2f^{-1}(x)}=\frac{1}{2\sqrt x}$

2. Die Funktion $f: x \to (x-0,5)^2 + 1,5$ mit D = R ist eine quadratische Funktion, deren Graph den Scheitel bei (0,5; 1,5) hat. Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel. Die Funktion ist für x $\in$ [0,5;$\infty$[ streng monton zunehmend. Die Wertemenge ist W = [1,5;$\infty$[
Die Umkehrfunktion erhält man, indem man die Gleichung y = (x-0,5)² + 1,5
1. nach x auflöst.
$x = \sqrt {y-1,5} + 0,5$ und dann
2. x und y vertauscht
$y = \sqrt {x-1,5} + 0,5$
Also ist die Umkehrfunktion $f^{-1}:x \to \sqrt {x-1,5} + 0,5$ mit D = [1,5;$\infty$[ und W = [0,5;$\infty$[.
Der Funktionsterm der Funktion $f$ lässt sich umformen in $f(x)= x^2 - x + 1,75$ und hat die Ableitung $f'(x)=2x - 1$.

Ist $z=f^{-1}(x)$, dann ist die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(z)}= \frac{1}{2z-1}= \frac{1}{2(\sqrt {x-1,5} + 0,5)-1}=\frac{1}{2\sqrt {x-1,5} }$

  Aufgabe 3

1. Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ zur Funktion $f:x \to x^5-1$ mit D = R.

2. Bestimmen Sie allgemein
a) die Umkehrfunktion $f^{-1}$zur Potenzfunktion $f : x \to x^n$ mit n $\in$ N, D = $R_0^+$.
b) die Ableitungsfunktion der Umkehrfunktion $f^{-1}$.

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In D = R ist $f$ streng monoton steigend, also umkehrbar.

• In der Funktionsgleichung $y = x^5 -1$ werden x und y vertauscht:
  

$x = y^5 -1$

• Die Gleichung $x = y^5 -1$ wird nach y aufgelöst:
  

$y = \sqrt [5]{x+1}$ und die Umkehrfunktion ist $f^{-1}:x \to \sqrt [5]{x+1}$

Es ist $f'(x) = 5x^4$.
Damit erhält man $f^{-1'}(x)= \frac{1}{5(f^{-1}(x))^4} = \frac{1}{5 \cdot (\sqrt [5]{x+1})^4} = \frac{1}{5\cdot (x+1)^{\frac{4}{5}}}=\frac{1}{5}\cdot (x+1)^{-\frac{4}{5}}$, das ist der Term, den man auch mit der Potenzregel erhält.

2. a) Die Definitionsmenge der Funktion f ist bereits so, dass f dort streng monoton ist.
Die Umkehrung des Potenzierens ist das Wurzelziehen, also ist die Umkehrfunktion eine Wurzelfunktion.

• In der Funktionsgleichung y = f(x) werdem x und y vertauscht:
  

$x = y^n$

• Die Gleichung $x = y^n$ nach y auflösen ergibt $y = \sqrt [n]{x}$
  

Also ist die Umkehrfunktion $f^{-1}:x \to \sqrt [n]{x}$ mit n $\in$ N, D = $R_0^+$.

Die Ableitung erhält man mit $f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$.

b) Die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ erhält man durch $f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$.
Also muss man zuerst $f$ ableiten. Es ist $f'(x)=n\cdot x^{n-1}$.
Hiervon muss man den Kehrwert bilden $\frac{1}{n\cdot x^{n-1}}$ und statt x setzt man $f^{-1}(x)$ ein. Mit $f^{-1}(x) = \sqrt [n]{x}$ erhält man
$f^{-1'}(x)=\frac{1}{n \cdot (\sqrt [n]{x})^{n-1} } = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{x^{\frac{n-1}{n}}}$

Jetzt weiß man vom Ableiten von Potenzen, dass $(x^{\frac{1}{n}})' =\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1}$ ist. Den Exponent von x kann man umformen $\frac{1}{n} - 1 = \frac{1-n}{n}=-\frac{n-1}{n}$ und das ist der Exponent von x in $f^{-1'}$.

  Aufgabe 4

Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion der e-Funktion.

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Die Ableitung der e-Funktion ist f '(x) = e^x.
Auch hier erhält man die Ableitung der Umkehrfunktion durch $f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$.
Es ist für die Umkehrfunktion $f^{-1}:x \to ln(x)$
$f'(x) = \frac{1}{f'(ln(x))}=\frac{1}{e^{ln(x)}}=\frac{1}{x}$.

Also ist die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion $( ln(x))' = \frac{1}{x}$.