M10 Grenzwert und Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen

Merke: Die Exponentialfunktion $f: x \rightarrow a^x$ mit a > 0 gilt: 0 < a < 1: $\lim_{x \to -\infty} a^x = \infty$ und $\lim_{x \to \infty} a^x = 0$ Die positive x-Achse ist Asymptote für $x \to \infty$. 1 < a: $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0\ \$ und $\lim_{x \to \infty} a^x = \infty \ \$ Die negative x-Achse ist Asymptote für $x \to -\infty$.

  Aufgabe 1

Buch S. 124 / 2
Buch S. 125 / 3

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124/2 Man weiß von Exponentialfunktionen $f:x\rightarrow a\cdot b^x$, dass $f(0)=a$ und $f(1)=a\cdot b$ ist. Wenn a = 1 ist, dann ist $f(0)=1, f(1)=b$. Damit findet man leicht die Zuordnung Term - Graph.
A - k
B - f
C - m
D - h
E - g

125/3a) $\lim_{x\to \infty}= \infty$, die Funktion divergiert für $x \to \infty$
b) Die Funktion konvergiert für $x \to \infty$, es ist $\lim_{x\to \infty}= 2$ (?)
c) Die Funktion konvergiert für $x \to \infty$, es ist $\lim_{x\to \infty}= 0$
d) Die Funktion konvergiert für $x \to \infty$, es ist $\lim_{x\to \infty}= 3$ (?)
e) Die Funktion divergiert unbestimmt für $x \to \infty$

f) Die Funktion divergiert unbestimmt für $x \to \infty$

  Aufgabe 2

Buch S. 126 / 6
Buch S. 126 / 7
Buch S. 126 / 8

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126/6
a) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty$ divergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = 0$ konvergiert
b) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0$ konvergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty$ divergiert
c) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty$ divergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = -2$ konvergiert
d) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty$ divergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = 3$ konvergiert
e) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = 2$ konvergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = -\infty$ divergiert
f) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty$ divergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = -2$ konvergiert
g) Die Funktion divergiert unbestimmt.
h) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty$ divergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty$ divergiert
i) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty$ divergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty$ divergiert
k) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0$ konvergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = 0$ konvergiert
l) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = 2$ konvergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = 2$ konvergiert
m) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = -3$ konvergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = -3$ konvergiert
n) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0$ konvergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = 0$ konvergiert
o) Die Funktion divergiert unbestimmt.
p) $\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0$ konvergiert und $\lim_{x \to \infty}f(x) = 0$ konvergiert

126/7
a) Ist möglich, da z.B. $f_a:x \rightarrow 1 - 2^{-x}$ stets unter der Geraden y = 1 verläuft.

b) Ist möglich, da die Funktion $f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x}$ oberhalb und unterhalb der Geraden y = 1 verläuft.
c) Ist falsch, denn wenn der Graph von f stets oberhalb der Gerade y = 1 verläuft und die Funktionswerte mit wachsenden x auch größer werden, dann kann der Grenzwert für $x \to \infty$ nicht 1 sein.
d) Ist möglich bei der Funktion $f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x}$.
e) Ist möglich bei der Funktion $f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x}$.
Muss aber nicht sein, es gibt auch Funktionen, deren Abstand zur Geraden y = 1 erst ab Werten x > 1000 kleiner als 1/100 ist. Z.B. ist für die Funktion $f:x \rightarrow 1 + \frac{10}{x}$ f(100)=1,1 und damit ist der Abstand zur Geraden 0,1 und f(1000)=1,01.
f) Der Term (-1)ⁿ nimmt für n = 1, 2, 3, 4, ... die Werte -1, 1, -1, 1, .... an. Die Funktionswerte alternieren stets und der Grenzwert ist nicht bestimmt. Also ist die Aussage falsch.
g) Diese Funktionswerte nähern sich mit wachsendem n immer mehr der Zahl 1 an, obwohl sie auch hier stets wechselndes Vorzeichen haben.

126/8
a) $f:x \rightarrow 2^{-x}$
b) $f:x \rightarrow \frac{1}{x^2}$
c) $f:x \rightarrow x^2$
d) $f:x \rightarrow 2+2^{-x}$
e) $f:x \rightarrow 2+\frac{1}{x}$
f) $f:x \rightarrow \frac{1}{x^2}$
g) $f:x \rightarrow 1,5x$
h) $f:x \rightarrow -2cos(x)$

Zum Überprüfen die Funktionsterme in GeoGebra eingeben!

  Aufgabe 3

Buch S. 127 / 9

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a,b)

c) Ansatz: $w_n=a-b\cdot 0,6^n$.
Für n = 1 ist w₁ = 0, also I: $0 = a - b\cdot 0,6$
Für n = 2 ist w₂ = 6, also II: $6 = a - b \cdot 0,36$
II - I: 6 = 0,24b ergibt b = 25, a = 15
$w_n=15-25\cdot 0,6^n$

Bei diesem Ansatz geht man von einem Sättigungswert a aus, der durch die regelmäßige Einnahme erreicht wird.

d) Aus dem Graphen der Funktion aus c) sieht man, dass der Wirkstoff im Körper sich dem Wert 15 annähert.<
Setzt man die Tabelle aus a) fort

so sieht man, dass w vor der Einnahme gegen 15 konvergiert.
Die Wirkstoffmenge vor der Einnahme ist für $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} = 15$ Dies ist der Sättigungswert des Wirkstoffes im Körper, der sich auf lange Sicht einstellen wird.

e) $w_n=15-25\cdot 0,6^n$ ist der Wirkstoff am Tag n vor der Einnahme. Nimmt man nun das Medikament ein, dann erhöht sich der Wert $w_n + 10$ und wird im Verlauf der nächsten 24 Stunden um 40% reduziert. Es ist dann $w_{n+1}=(15-25\cdot 0,6^n+10)\cdot 0,6=(25 - 25\cdot 0,6^n)\cdot 0,6=15-25\cdot 0,6^n \cdot 0,6 =15 - 25\cdot 0,6^{n+1}$