M10 Symmetrie

Es gibt zwei verschiedene Arten von Symmetrien zum Koordinatensystem:

Achsensymmetrie zur y-Achse

Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Graph auf der linken Seite der y-Achse ein Spiegelbild der rechten Seite ist. Die y-Achse ist Symmetrieachse des Graphen von f.
Rechnerisch bedeutet dies, dass f(-x)=f(x) ist.

Merke: Gilt für die Funktion f, dass f(-x) = f(x) ist, dann ist der Graph von f achsensymmetrisch zur y-Achse.

  Aufgabe 1

Zeige, dass die Graphen der Funktion f mit
a) f(x) = x² - 2
b) f(x) = $2 + \frac{1}{x^2}$
achsensymmetrisch zur y-Achse sind.

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Man überprüft das, indem man in den Funktionsterm von f statt x nun -x einsetzt. Wenn der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, dann muss man den gleichen Term f(x) wieder erhalten.
a) f(-x) = (-x)² - 2 = x² - 2 = f(x)

b) f(-x) = $2 + \frac{1}{(-x)^2}=2+\frac{1}{x^2}$ = f(x)

Punktsymmetrie zum Ursprung

Der Graph einer Funktion f ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn man ihn um 180° drehen kann und man wieder den gleichen Graph erhält. Oder macht man zwei Achsenspiegelungen an der x-Achse und an der y-Achse und erhält wieder den Graphen von f.
Rechnerisch bedeutet dies, dass f(-x)= - f(x) ist.

Merke: Gilt für die Funktion f, dass f(-x) = - f(x) ist, dann ist der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung y-Achse.

  Aufgabe 2

Zeige, dass die Graphen der Funktion f mit
a) f(x) = x
b) f(x) = $\frac{5}{x}$
punktsymmetrisch zum Ursprung sind.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Man überprüft das, indem man in den Funktionsterm von f statt x nun -x einsetzt. Wenn der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, dann muss man den gleichen Term f(x) wieder erhalten.
a) f(-x) = -x = - f(x)

b) f(-x) = $\frac{5}{-x}=-\frac{5}{x}$ = - f(x)

Aufgaben

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Ausblick

Achsensymmetrie zu einer anderen Achse und Punktsymmetrie zu einem anderen Punkt wird dir hier erklärt.