Abstands- und Winkelbestimmungen
Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.
Die Hessesche Normalenform (HNF)
Aufgaben
S. 153/1
a) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Man kann die Rechnung auch ohne Betragstriche machen. Ergibt sich ein negatives Ergebnis wie hiernimmt man hiervon den Betrag.
Der Abstand des Punktes P(6;-1;9) von der Ebene E ist
b) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Der Punkt P(7;7;2) hat von E den Abstand .
c) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E . Der Ursprung liegt in der Ebene E.
Der Punkt P(-1;1;3) hat von E den Abstand .
d) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Der Punkt P(4;-1;2) hat von E den Abstand .
O und P liegen jeweils im Abstand 2 in verschiedenen Halbräumen zur Ebene E.
![Abstand](/images/thumb/c/cc/153-1d.jpg/300px-153-1d.jpg)
S. 153/2
(1) Wegen steht der Richtungsvektor
der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor
der Ebene E.
ist also komplanar zu den Richtungsvektoren der Ebene E.
Die Ebene E hat als HNF .
Für den Stützpunkt A(7;-13;-4) der Gerade g berechnet man
, also liegt A nicht in E und g ist echt parallel zu E. Das g echt parallel zu E ist, hat g auch den Abstand 18 zur Ebene E.
Wird g senkrecht auf E projeziert, dann wird in Richtung des Normalenvektors projeziert. Fällt man von A das Lot auf E, dann erhält man den Lotfusspunkt L durch 2(7+2k)-2(-13-2k)-(-4-k)+10=0 und k = -6 und L(-5;-1;2). Damit hat man für g* den Stützpunkt. Ihr Richtungsvektor ist derselbe wie bei g, da er "in E liegt" (ist komplanar zu den Richtungsvektoren von E). Die senkrechte Projektion von g in die Ebene E ist dann
.
(2) Analog geht man hier vor.
.
HNF von E: .
k + (7+k) + (-1+k) + 12 = 0 --> k = -6 und L(-6;1;-7)
![g^*: \vec{x}=\left( \begin{array}{c} -6 \\\ 1 \\\ -7 \end{array}\right) + r \left( \begin{array}{c} -5 \\\ 6 \\\ -1 \end{array}\right)](/images/math/7/c/2/7c21a8047674f92c499d9169cce3a536.png)
S. 154/4
Die Ebene E hat HNF .
Für diese Gleichung hat man also einen Normaleneinheitsvektor
.
Zu einer zu E parallelen Ebene im Abstand 9 kommt man, wenn man neun mal diesen Normaleneinheitsvektor oder
aneinandersetzt.
Deren HNF sind dann oder
. (Berechnet man den Abstand des Ursprungs O (liegt in E) von diesen Ebenen kommt jeweils 9 heraus!)
Schreibt man die Ebenengleichungen nur als Normalenform analog der Ebenengleichung für E, dann lauten sie und
.
S. 154/6
a) Gleichsetzen der zwei Geradengleichungen liefert den Schnittpunkt (S(1;-1;0).
Für den Schnittwinkel interessieren nur die Richtungsvektoren der Geraden. Man erhält ihn aus . Es ist
.
Ich lasse die Betragsstriche meist weg. Ist das Ergebnis für cos oder sin negativ, dann nimmt man einfach hier den Betrag
und erhält dann den spitzen Winkel.
b) S(0;2;-1) und
![\varphi = 50,8^o](/images/math/c/2/c/c2cbfc330d56bbd5b8b270b7b251921f.png)
S. 154/7
a) Setzt man g in E ein, erhält man diese Gleichung 3(1+k) - (-2) - (-k) = 1 und k = -1. S(0;-2;1)
Für den Schnittwinkel interessieren der Richtungsvektor von g und der Normalenvektor der Ebene E. und
![\varphi=71,5^o](/images/math/f/3/1/f31745e01275992d1acd1c8865e83a74.png)
S. 154/8
a) Für den Schnittwinkel interessieren die zwei Normalenvektoren der Ebene. und
b)
c)
d) Hier ist es sinnvoll beide Ebenengleichungen in Normalenform zu schreiben;
E1: 5x1 - 6x2 - 2x3 + 3 = 0 und E2: 2x1 + x3 -3 = 0
![\varphi = 63,7^o](/images/math/e/c/8/ec8c58b57514a5ff28e368c9335e110b.png)