M8-Rechnen mit Bruchtermen
Wir haben uns mit gebrochen-rationalen Funktionen beschäftigt. Terme dieser Funktionen sind im Normal Bruchterme. In der 6. Klasse hast du gelernt mit Brüchen zu rechnen. Da kamen in Zähler und Nenner des Bruches nur Zahlen vor. Bei den gebrochen-rationalen Funktionen steht auch die Variable im Nenner, eventuell auch im Zähler. Daher müssen wir auch mit Brüchen arbeiten können, wenn Variable oder Parameter in Zähler und/oder Nenner vorkommen.
Zur Festigung deiner Grundkenntnisse wollen wir zuerst einiges vom Stoff der 6. und 7. Klasse wiederholen.
Erweitern: Der erste Bruch wird mit x, der zweite Bruch mit 5 erweitert, d.h. Zähler und Nenner werden mit x bzw. 5 multipliziert. Wenn Zähler oder Nenner eine Summe oder Differenz sind, dann setze sie in Klammern und multipliziere die Klammer!
Kürzen: Bei den Termen in Zähler und Nenner kann man jeweils x ausklammern. Der Rest bleibt kommt in Klammern. Stehen in Zähler und Nenner gleiche Faktoren, so kann man diese kürzen.
Addition: Brüche muss man beim Addieren oder Subtrahieren gleichnamig machen. Dies passiert hier, indem man die beiden Nenner multipliziert. Das ist dann der Hauptnenner. Haben beide Brüchen denselben Nenner, dann addiert bzw. subtrahiert man ihre Zähler und fasst zusammen.
Multiplikation: Zwei Brüche werden multipliziert, indem man ihre Zähler mulitpliziert und ihre Nenner multiziert.
Dann vereinfacht man den Zähler. Den Nenner lässt man so stehen, man multipliziert nicht aus. Man sieht dann leichter ob man noch kürzen kann.
Mit Bruchtermen kann man wie mit Brüchen rechnen. Beachte: Aus Summen und Differenzen kürzen wir nicht! |
Merke:
1. Erweitern und Kürzen 2. Addition und Subtraktion 3. Multiplikation und Division |
Beipiele:
1. Erweitern: Der Bruch wurde mit x erweitert.
Kürzen: Der Bruch wurde mit x gekürzt.
2. Addition und Subtraktion: Gleichnamige Brüche!
Der erste Bruch wird mit x+2 erweitert, der zweite Bruch mit x. Im Nenner lässt man das Produkt stehen!
3. Multiplikation:
Im Nenner lässt man das Produkt stehen.
Division:
120/1
Zähler und Nenner werden jeweils mit dem Erweiterungsfaktor, der in den Aufgaben a) - f) gegeben ist multipliziert.
120/2
Den Erweiterungsfaktor erhältst du, wenn du den in eckigen Klammern angegebenen Nenner durch den Nenner des Bruches dividierst.
a) Erweiterungsfaktor 4xy
b) Erweiterungsfaktor -2
Beachte, dass x-y=-(y-x) ist!
c) Erweiterungsfaktor b(a+b)
d) Erweiterungsfaktor a+b
Hier ist der Nenner -(a+b) noch vereinfacht zu -a-b.
e) Erweiterungsfaktor ab3
f) < Erweiterungsfaktor 2b
Das Minuszeichen kann man auch in den Nenner schreiben!
g) Erweiterungsfaktor -x
Es ist x+y=y+x (Kommutativgesetz)!
h) Erweiterungsfaktor x(1-x)
i) Erweiterungsfaktor x+3
j) Erweiterungsfaktor x3y5
k) Erweiterungsfaktor -1
120/3
Suche gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner. Eventuell musst du ausklammern.
a) gekürzt mit 2x
b) gekürzt mit x(x-4)
c) gekürzt mit 5-x
Beachte: x-5 = -(-x+5) = -(5-x)
d) gekürzt mit 4
e) gekürzt mit 4
f) gekürzt mit x
g) gekürzt mit 2x2
h) gekürzt mit x(1-x)
Beachte: x-1 = -(1-x)
i) gekürzt mit 2·3·(3x+2)
Beachte: Im Zähler kann man 3 ausklammern und 6 = 2·3!
j) gekürzt mit x-2
Im Zähler kann man beim Faktor 3x-6 die Zahl 3 ausklammern.
k) gekürzt mit 4x
l) gekürzt mit 25(x+5)
Beachte: -x-5=-(x+5) oder x+5=-(-x-5)
m) gekürzt mit 18
n) gekürzt mit 5x(x-6)(x-1)
Beachte: Ausklammern bei 30-5x = 5(6-x) und x2-x=x(x-1)!
o) gekürzt mit x(x-7)
Beachte 7-x=-(x-7)
p) gekürzt mit 3(x-4)
q) gekürzt mit 36(9-y)(y-3), beachte: - mal - = +
r) gekürzt mit 4x-8
120/4
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
120/5
a) 1
b)
c)
d) -x
e) -4x4
f) 1
g) 2-x2
h)
i) -1
j) -x2+x
120/6
Die Ergebnisse sind E - E - O - T - R - N - H und richtig sortiert NOETHER