M8-Rechnen mit Bruchtermen

Wir haben uns mit gebrochen-rationalen Funktionen beschäftigt. Terme dieser Funktionen sind im Normalfall Bruchterme. In der 6. Klasse hast du gelernt mit Brüchen (Zahlen) zu rechnen. Da kamen in Zähler und Nenner des Bruches nur Zahlen vor. Bei den gebrochen-rationalen Funktionen steht auch die Variable im Nenner, eventuell auch im Zähler. Daher müssen wir auch mit Brüchen arbeiten können, wenn Variable oder Parameter in Zähler und/oder Nenner vorkommen.

Zur Festigung deiner Grundkenntnisse wollen wir zuerst einiges vom Stoff der 6. und 7. Klasse wiederholen.

Aufgabe 1

Bearbeite auf der Seite von Mathegym die Arbeitsaufträge
1. Wiederholung 6. Klasse: Bruchrechnen

Damit du dich erinnerst wie Bruchrechnen geht, schaue dir vorher dieses Video an:

2. Wiederholung 7. Klasse: Terme - Distributivgesetz - ausklammern
3. Wiederholung 7. Klasse: Terme - Distributivgesetz - Klammern auflösen I

Aufgabe 2

Drucke dir dieses Arbeitsblatt aus und bearbeite es.

Am Ende des letzten Arbeitsblatts steht: Mit Bruchtermen kann man wie mit Brüchen rechnen.
Beispiele sind auf dem Blatt angegeben.

Erkläre die Beispiele zum Rechnen mit Bruchtermen auf dem Arbeitsblatt unten.

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Erweitern: Der erste Bruch wird mit x, der zweite Bruch mit 5 erweitert, d.h. Zähler und Nenner werden mit x bzw. 5 multipliziert. Wenn Zähler oder Nenner eine Summe oder Differenz sind, dann setze sie in Klammern und multipliziere die Klammer!
Kürzen: Bei den Termen in Zähler und Nenner kann man jeweils x ausklammern. Der Rest bleibt kommt in Klammern. Stehen in Zähler und Nenner gleiche Faktoren, so kann man diese kürzen.
Addition: Brüche muss man beim Addieren oder Subtrahieren gleichnamig machen. Dies passiert hier, indem man die beiden Nenner multipliziert. Das ist dann der Hauptnenner. Haben beide Brüchen denselben Nenner, dann addiert bzw. subtrahiert man ihre Zähler und fasst zusammen.
Multiplikation: Zwei Brüche werden multipliziert, indem man ihre Zähler mulitpliziert und ihre Nenner multiziert.
Dann vereinfacht man den Zähler. Den Nenner lässt man so stehen, man multipliziert nicht aus. Man sieht dann leichter ob man noch kürzen kann.

Division: Man teilt durch einen Bruch, indem man seinen Kehrbruch multipliziert.

Merke

Mit Bruchtermen kann man wie mit Brüchen rechnen.
Dabei kann man Brüche bzw. Bruchterme Erweitern, Kürzen, Addieren bzw. Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren.

Beachte: Aus Summen und Differenzen kürzen wir nicht!

Aufgabe 3

Schau dir das 1. Beispiel (die ersten 5 Minuten) dieses Videos an.

Merke:

1. Erweitern und Kürzen
Beim Erweitern werden Zähler und Nenner eines Bruchterms mit der gleichen Zahl bzw. mit dem gleichen Term multipliziert.
Beim Kürzen werden Zähler und Nenner eines Bruchtermt durch die gleiche Zahl bzw. den gleichen Term dividiert.

2. Addition und Subtraktion
Gleichnamie Bruchterme werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Zähler addiert bzw. subtzrahiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.
Ungleichnamige Bruchterme muss man vor dem Addieren bzw. Subtrahieren gleichnamig machen.

3. Multiplikation und Division
Bruchterme werden multipliziert, indem man das Produkt der Zähler durch das Produkt der Nenner teilt.
Bruchterme werden dividiert, indem man den erstsen Bruchterm mit dem Kehrbruch des zweiten Bruchterms multipliziert.

Beipiele:

1. Erweitern: $\frac{5}{x+1}=\frac{5x}{x(x+1)}$
Der Bruch wurde mit x erweitert, d.h. Zähler und Nenner werden mit x multipliziert. Beachte dabei, dass du den Nenner x+1 in Klammern setzt, denn der ganze Nenner wird mit x multipliziert.

Kürzen:

$\frac{5x}{x(x+1)}=\frac{5}{x+1}$

Der Bruch wurde mit x gekürzt.Im Nenner steht ein Produkt, dessen 1. Faktor x ist. Man darf kürzen, wenn in Zähler und Nenner Produkte stehen.

$\frac{5+x}{x(x+1)}$ kann man nicht kürzen, da im Zähler eine Summe steht, die sich nicht durch Ausklammern in ein Produkt verwandeln lässt.
$\frac{5x+x^2}{x(x+1)}=\frac{x(5+x)}{x+1}=\frac{5+x}{x+1}$

Hier kann man im Zähler x ausklammern, dann stehen in Zähler und Nenner Produkte, die jeweils x als Faktor haben. Dieses x darf man nun kürzen. Der verbleibende Bruch ist nicht weiter kürzbar! In Zähler und Nenner kommt zwar jeweils x vor, aber x steht in einer Summe und aus Summen kürzt man nicht!

Und wenn man im letzten Beispiel beim Ergebnis noch x ausklammert?

Man kann natürlich im Bruch $\frac{5+x}{1+x}$ x ausklammern. Man erhält dann diesen Bruch:
$\frac{5+x}{1+x}=\frac{x\cdot (\frac{5}{x}+1)}{x\cdot (\frac{1}{x}+1)}$ und nun kann man, da x in Zähler und Nenner jeweils in einem Produkt vorkommt, x kürzen, aber das Ergebnis $\frac{\frac{5}{x}+1}{\frac{1}{x}+1}$ ist "kein schönes Ergebnis", da lässt man lieber $\frac{5+x}{1+x}$ stehen und hört auf.

Beim Bruch $\frac{5-x}{x-5)}$ schauen Zähler und Nenner ja fast gleich aus. Wodurch unterscheiden sie sich?

Man kann beim Zählerterm -1 ausklammern und hat dann 5 - x = -(-5 + x) (Distributivgesetz!) und 5 - x = -(-5 + x) = -(x - 5) (Kommutativgesetz!).
Nun steht in der Klammer derselbe Term wie im Nenner.
Der Nenner ist auf natürliche Weise ein Produkt, es ist nämlich x - 5 = 1·(x - 5). Deshalb kann man nun den gemeinsamen Faktor (x - 5) kürzen. Also $\frac{5-x}{x-5}=\frac{-(x-5)}{1\cdot (x-5)}=\frac{-1}{1}=-1$

Übung

a) Darf man $\frac{5}{5x}$ kürzen? (ja) (!nein)

b) Darf man $\frac{x-5}{5x}$ kürzen? (!ja) (nein)

c) Darf man $\frac{x^2}{5x}$ kürzen? (ja) (!nein)

d) Darf man $\frac{2-x^2}{2-x}$ kürzen? (!ja) (nein)

e) Darf man $\frac{4-x^2}{2-x}$ kürzen? (ja) (!nein)

f) Darf man $\frac{2-x}{x-2}$ kürzen? (ja) (!nein)

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a) 5 ist gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner. Das Ergebnis ist $\frac{1}{x}$
b) Im Zähler steht eine Differenz aus der man "nichts" ausklammern kann. Man kann nicht kürzen.
c) x ist gemeinsamer Faktor in Zähler und Nenner. $x^2=x\cdot x$ , das Ergebnis ist $\frac{x}{5}$
d) In Zähler und Nenner stehen Differenzen, aus denen man nichts ausklammern kann. Man kann nichts kürzen.
e) Der Term im Zähler 4 - x² lässt sich umformen in 4 - x² = (2-x)(2+x) und dann kann man 2-x kürzen. Das Ergebnis ist x + 2.

f) Im Zähler kann man -1 ausklammern, dann ist 2 - x = -(x - 2) und man darf nun x-2 kürzen. Das Ergebnis ist -1.

2. Addition und Subtraktion: $\frac{17}{x+1}-\frac{11}{x+1}=\frac{17-11}{x+1}=\frac{6}{x+1}$
Die Brüche sind gleichnamig, dann kann man gleich die Zähler addieren bzw. subtrahieren.

$\frac{17}{x}-\frac{11}{x+2}=\frac{17(x+2)}{x(x+2)}-\frac{11x}{x(x+2)}=\frac{17(x+2)-11x}{x(x+2)}=\frac{17x+34-11x}{x(x+2)}=\frac{6x+34}{x(x+2)}$
Hier muss man für die zwei Brüche erst einen gleichen Nenner finden. Dazu wird der erste Bruch wird mit x+2 (=Nenner des 2. Bruches) erweitert, der zweite Bruch mit x (=Nenner des 1. Bruches). Wenn man gleiche Nenner hat, dann kann man die Zähler addieren bzw. subtrahieren und zusammenfassen bzw. vereinfachen. Im Nenner lässt man das Produkt stehen!

3. Multiplikation: $\frac{x}{x-2}\cdot \frac{x-3}{x+1}=\frac{x(x-3)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x^2-3x}{(x-2)(x+1)}$
Beim Multiplizieren werden die Zähler und die Nenner jeweils miteinander multipliziert. Den Zähler vereinfacht man noch. Im Nenner lässt man das Produkt stehen.

Division: $\frac{x}{x-2}: \frac{x-3}{x+1}=\frac{x}{x-2}\cdot \frac{x+1}{x-3}=\frac{x(x+1)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x^2+x}{(x-2)(x-3)}$
Beim zweiten Bruch wird der Kehrbruch gebildet, indem man Zähler und Nenner vertauscht. Der Zähler des Bruches wird zum Nenner des Kehrbruches, der Nenner des Bruches wird zum Zähler des Kehrbruches. Dann wird der 1. Bruch mit dem Kehrbruch des 2. Bruches multiplliziert, der Zähler vereinfacht und im Nenner bleibt das Produkt stehen.

Aufgabe 4

Erweitern: Buch S. 120/1,2
Kürzen: Buch S. 120/3
Lass die Nenner als Produkt stehen!

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120/1
$\frac{1}{x}=\frac{2}{2x}=\frac{-1}{-x}=\frac{x}{x^2}=\frac{x^2}{x^3}=\frac{2-x}{x(2-x)}=\frac{1-x^2}{x(1-x^2)}$
Zähler und Nenner werden jeweils mit dem Erweiterungsfaktor, der in den Aufgaben a) - f) gegeben ist multipliziert.
$\frac{6}{x}=\frac{12}{2x}=\frac{-6}{-x}=\frac{6x}{x^2}=\frac{6x^2}{x^3}=\frac{12-6x}{x(2-x)}=\frac{6-6x^2}{x(1-x^2)}$
$\frac{x-1}{x}=\frac{2x-2}{2x}=\frac{-x+1}{-x}=\frac{x^2-x}{x^2}=\frac{x^3-x^2}{x^3}=\frac{(2-x)(x-1)}{x(2-x)}=\frac{(1-x^2)(x-1)}{x(1-x^2)}$
$\frac{1}{2-x}=\frac{2}{2(2-x)}=\frac{-1}{-2+x}=\frac{x}{2x-x^2}=\frac{x^2}{2x^2-x^3}=\frac{2-x}{(2-x)^2}=\frac{1-x^2}{(2-x)(1-x^2)}$

120/2
Den Erweiterungsfaktor erhältst du, wenn du den in eckigen Klammern angegebenen Nenner durch den Nenner des Bruches dividierst.
a) $\frac{4}{15}=\frac{16xy}{60xy}$ Erweiterungsfaktor 4xy
b) $\frac{x}{x-y}=\frac{-2x}{2(y-x)}$ Erweiterungsfaktor -2
Beachte, dass x-y=-(y-x) ist!
c) $\frac{a}{a-b}=\frac{ab(a+b)}{b(a-b)(a+b)}$ Erweiterungsfaktor b(a+b)
d) $-1=\frac{-a-b}{a+b}$ Erweiterungsfaktor a+b
Hier ist der Nenner -(a+b) noch vereinfacht zu -a-b.
e) $ab=\frac{a^2b^4}{ab^3}$ Erweiterungsfaktor ab³
f) $-\frac{2}{3}=\frac{4b}{-6b}$ < Erweiterungsfaktor 2b
Das Minuszeichen kann man auch in den Nenner schreiben!
g) $\frac{4y}{y+x}=\frac{-4xy}{-x(x+y)}$ Erweiterungsfaktor -x
Es ist x+y=y+x (Kommutativgesetz)!
h) $x=\frac{x^2(1-x)}{x(1-x)}$ Erweiterungsfaktor x(1-x)
i) $2=\frac{2x+6}{x+3}$ Erweiterungsfaktor x+3
j) $xy=\frac{x^3y^6}{x^2y^5}$ Erweiterungsfaktor x³y⁵
k) $\frac{1}{a-b}=\frac{-1}{b-a}$ Erweiterungsfaktor -1

120/3
Suche gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner. Eventuell musst du ausklammern.
a) In Zähler und Nenner stehen 2 und x jeweils als Faktoren.
$\frac{4x}{6x^2}=\frac{2}{3x}$ gekürzt mit 2x
b) In Zähler und Nenner stehen x-4 und x als Faktoren.
$\frac{x(x-4)}{x^3 (x-4)}=\frac{1}{x^2}$ gekürzt mit x(x-4)
c) Stelle zuerst Zähler oder Nenner um, indem du -1 ausklammerst.
$\frac{x-5}{5-x}=-1$ gekürzt mit 5-x
Beachte: x-5 = -(-x+5) = -(5-x)
d) $\frac{4x}{4}=x$ gekürzt mit 4
e) $\frac{4}{4x}=\frac{1}{x}$ gekürzt mit 4
f) $\frac{-4x}{x}=-4$ gekürzt mit x
g) $\frac{x\cdot 2x}{8x^2}=\frac{1}{4}$ gekürzt mit 2x²
h) $\frac{x(x-1)}{x^2(1-x)}=\frac{-1}{x}$ gekürzt mit x(1-x)
Beachte: x-1 = -(1-x)
i) $\frac{2(9x+6)}{6(3x+2)}=1$ gekürzt mit 2·3·(3x+2)
Beachte: Im Zähler kann man 3 ausklammern und 6 = 2·3!
j) $\frac{(3x-6)(8-2x)}{(4+x)(x-2)}=\frac{3(8-2x)}{4+x}$ gekürzt mit x-2
Im Zähler kann man beim Faktor 3x-6 die Zahl 3 ausklammern.
k) $\frac{4x^2}{4x}=x$ gekürzt mit 4x
l) $\frac{25(x+5)}{50(-x-5)}=-\frac{1}{2}$ gekürzt mit 25(x+5)
Beachte: -x-5=-(x+5) oder x+5=-(-x-5)
m) $\frac{324(x+y)}{-18x}=-\frac{18(x+y)}{x}$ gekürzt mit 18
n) $\frac{x^3(30-5x)(x^2-x)}{15x(x-6)(x-1)}=-\frac{x^3}{3}$ gekürzt mit 5x(x-6)(x-1)
Beachte: Ausklammern bei 30-5x = 5(6-x) und x²-x=x(x-1)!
o) $\frac{(7-x)(x-1)x^2}{x(x+1)(x-7)}=\frac{-(x-1)x}{x+1}$ gekürzt mit x(x-7)
Beachte 7-x=-(x-7)
p) Im Nenner kann man 6 ausklammern. Dann sind in Zähler und Nenner jeweils 3 und x-4 Faktoren, die man kürzen kann.
$\frac{3(x-4)(x+4)}{6x-24}=\frac{x+4}{2}$ gekürzt mit 3(x-4)
q) $\frac{180(y-9)(3-y)}{216(9-y)(y-3)}=\frac{5}{6}$ gekürzt mit 36(9-y)(y-3)
Beachte: - mal - = +
r) Klammere in Zähler und Nenner aus!
$\frac{4x-8}{16x-32}=\frac{1}{4}$ gekürzt mit 4x-8
s) Klammere zuerst in Zähler und Nenner aus!

$\frac{12x^2-30x}{2x-10}=\frac{6x^2-15x}{x-5}$ gekürzt mit 2, mehr geht nicht

Aufgabe 5

Addition und Subtraktion: Buch S. 120/4
Multiplikation und Division: Buch S. 120/5, 6
Lass die Nenner als Produkt stehen!

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120/4
Überlege dir zuerst den Hauptnenner, eventuell die Nenner miteinander multiplizieren (aber nicht ausrechnen, nur Faktor · Faktor!) und erweitere dann die Brüche mit dem jeweiligen Erweiterungsfaktor. Fasse dann die Zähler zusammen und vereinfache den gemeinsamen Zähler.
a) Die Zahl 1 lässt sich als Bruch $\frac{1}{1}$ schreiben und dann mit x erweitern.
$\frac{2+x}{x}$
Es ist $1 = \frac{x}{x}$ .
b) Der Hauptnenner ist das Produkt der beiden Nenner 2 und x. Erweitere die beiden Brüche passend und fasse dann zusammen.
$\frac{x^2+4}{2x}$
c) Die Nenner sind gleich, also kann man gleich die Zähler subtrahieren.
$\frac{1}{x+1}$
d) Gleiche Nenner, also Zähler addieren.
$\frac{8}{2x+2}=\frac{4}{x+1}$
Im Ergebns kann man im Nenner 2 ausklammern und dann 2 kürzen.
e) $\frac{2+x^2}{2x}$
f) $\frac{2+2x}{1+x}$
g) Hauptnenner ist das Produkt der beiden Nenner x - 1 und x. Erweitere die beiden Brüche passend und fasse dann zusammen.
$\frac{1}{x(x-1)}$
Vor dem Minuend steht ein Minuszeichen, dies bedeutet, wenn man die Zähler zusammenfasst x - (x-1), setze dazu den zweiten Zähler in Klammern! - und vereinfache dann.
h) $\frac{3x-6}{2x}$
i) $\frac{1+y^2}{y(1-y)}$
j) Hier hast du 3 Brüche gegeben. Hauptnenner ist die höchste gemeinsame x-Potenz hier also x².
$\frac{2x-1}{x^2}$
Hauptnenner ist x²,also erweitert man den 1. udn 3. Bruch jeweils mit x und der gemeinsame Zähler ist dann x-x²-(1-x²)+x, Klammern auflösen und zusammenfassen liefert 2x-1
k) Den Zähler des 1. Bruches musst du ausmultiplizieren. Den Minuend 2x kann man als Bruch mit dem Nenner 0,5x schreiben, indem man den Bruch $\frac{2x}{1}$ mit 0,5x erweitert, also $\frac{2x}{1}=\frac{2x\cdot 0,5x}{0,5x}=\frac{x^2}{0,5x}$ .
$\frac{x+0,25}{0,5x}$
Es ist (x+0,5)²=(x+0,5)(x+0,5), ausmultiplizieren liefert x²+x+0,25
l) Für die Terme im Nenner gilt das Kommutativgesetz.
$\frac{1}{x+1}$
m) $\frac{2-x}{(1+x)(1-x)}$
n) $\frac{-x}{(1+x)(1-x)}$
o) $\frac{x^2+x}{x+1}=x$
p) $\frac{2x+7}{x+3}$

120/5
Beim Dividieren schreibe zuerst die Mulitplikation mit dem Kehrbruch hin und vereinfache dann.
a) 1
b) $\frac{x^2}{4}$
c) Im Zähler des 2. Bruches kann man 5 ausklammern. Nach der Multiplikation mit dem Kehrbruch hat man in Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren 2 und x - 2, die man kürzen kann.
$\frac{2x-4}{5}$
Im Zähler steht der Faktor 4 im Nenner 10, also kann man den Bruch nach Kürzen mit dem Faktor x + 2 noch mit 2 kürzen.
d) Das Minuszeichen vor dem Divisor kann man vor den Gesamtterm schreiben.
-x
e) Beachte: Hier werden 2 Brüche multipliziert!.
Im Zähler bei 1-x kann man - ausklammern und dann steht im Zähler auch x-1, wie im Nenner des 2. Bruches und das - schreibt man vor den Bruch.
-4x⁴
Beachte, dass 1-x = -(-1+x) = -(x-1) ist.
f) 1
g) Fasse zuerst die zwei Brüche in der Klammer zusammen. $\frac{2-x^2}{2x}$ und dann werden zwei Brüche multipliziert.
2-x²
h) Fasse auch hier zuerst die zwei Brüche in der Klammer zusammen und dividiere dann.
$\frac{2}{x}$
i) Klammer berechnen $\frac{x-2(x+1)}{x(x-1)}$ und dann dividieren.
$(\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x}):(x+2)=\frac{x-2(x+1)}{x(x-1)}:(x+2)=\frac{-x-2}{x(x+1)}\cdot\frac{1}{x+2}=\frac{-(x+2)}{x(x+1)\cdot (x+2)}=\frac{-1}{x(x+1)}$
Im Zähler steht -x-2 = -(x+2) und x+2 kann man kürzen! Gut, dass man den Zähler nicht ausmultipliziert hat, da sieht man den Faktor x+2 zum Kürzen.
j) Auch hier zuerst die Klammer berechnen und ann multiplizieren.
$(\frac{x-2}{x}-\frac{x}{x-2})\cdot 0,25x=\frac{(x-2)^2-x^2}{x(x-2)} \cdot 0,25x = \frac{x^2-4x+4-x^2}{x(x-2)} \cdot 0,25x = \frac{4(-x+1)\cdot 0,25x}{x(x-2)}=\frac{-x+1}{x-2}$

120/6
In der Tabelle stehen unter jeder Termaufgabe zwei Lösungen. Eine davon ist richtig und der Buchstabe unter der Lösung führt zum Lösungswort. Die Ergebnisse sind E - E - O - T - R - N - H und richtig sortiert NOETHER

https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether

Das waren jetzt Aufgaben nur zum Einüben und Lernen wie man es richtig macht. Nun kommen ein paar Anwendungsaufgaben.

Aufgabe 6

Buch S. 121/7

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a) Die schraffierte Fläche ist ein Trapezfläche. Die Trapezformel lautet $A=\frac{a+c}{2}\cdot h$ . Mit $a=\frac{x}{2} cm, c = (\frac{x}{2}-\frac{2}{x})cm, h= x \, cm$ ergibt sich $A=\frac{\frac{x}{2} cm + \frac{x}{2} cm -\frac{2}{x}cm}{2} \cdot x\, cm= \frac{x\, cm - \frac{2}{x})cm}{2} \cdot x \, cm=\frac{(x^2-2)cm}{2x} \cdot x\, cm=\frac{x^2-2}{2} cm^2 = (\frac{x^2}{2} - 1)cm^2$
Die Gesamtfläche ist eine Rechtsfläche mit $A_R = \frac{x^2}{2}cm^2$ . Der Anteil der schraffierten Fläche an der Rechtecksfläche ist dann $\frac{A}{A_R} = \frac{(\frac{x^2}{2} - 1)cm^2 }{\frac{x^2}{2}cm^2}= \frac{x^2-2}{x^2}$ (den Bruch mit 2 erweitern) oder anders geschrieben $1-\frac{2}{x^2}$

b) Die schraffierte Fläche ist eine Dreiecksfläche. Die Formel für die Dreiecksfläche ist $A=\frac{1}{2} g h$ . Mit $g = \frac{6}{x} cm$ und $h = x \, cm$ ergibt sich $A= \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{x} cm \cdot h x \, cm = 3 cm^2$
Der Anteil an der Quadratfläche $A_Q=x^2\, cm^2$ ist dann $\frac{A}{A_Q}=\frac{3cm^2}{x^2\, cm^2}= \frac{3}{x^2}$ .