M8 Term und Graph bei gebrochen-rationalen Funktionen

Auf dieser Seite soll der Zusammenhang zwischen dem Graphen und dem Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion näher untersucht werden. Dabei geht es um zwei Fragestellungen:
1. Wie finde ich aus einem gegebenen Graphen den passenden Funktionsterm.
2. Wie kann man "leicht" aus einem gegebenen Funktionsterm den Graphen angeben.

Zur Beantwortung sind die folgenden Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen hilfreich.
Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist die indirekte Proportionalität $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ . Die Funktion ist für $x \in Q\setminus \left \{ 0 \right \}$ definiert. Die Funktionsgleichung ist $y = \frac{1}{x}$ und der Funktionsgraph

In allen Applets sind die Funktionsterme mit angegeben. Beachte wie sich die Funktionsterme bei Änderung der Parameter ändern.

Definitionslücke - senkrechte Asymptote

Die Funktion $g: x \rightarrow \frac{1}{x-b}$ ist für $x = b$ nicht definiert, da wenn man b für x einsetzt im Nenner Null steht. Das ist nicht zulässig! Also ist $D=Q\setminus \left \{ b \right \}$. An der Stelle $x = b$ hat die Funktion $g$ eine Definitionslücke. Der Graph eine senkrechte Asymptote. $x = b$ ist eine Polstelle des Graphen.

  Aufgabe 1

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit $f(x) = \frac{1}{x}$ ( grün) und der Graph der Funktion g mit $g(x) = \frac{1}{x-b}$ ( rot) eingezeichnet. Desweiteren ist die senkrechte Asymptote $x = b$ ( blau) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von b ändern.

Der Schieberegler ist auf b = 0 eingestellt.
1. Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

2. Stelle nun den Schieberegler auf b = 1.
Beschreibe was mit dem Graphen von g und mit der Asymptote passiert, indem du mit dem Graphen von f vergleichst.
Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

Stelle nun den Schieberegler wieder auf b = 0. Die Graphen von f und g liegen nun wieder aufeinander.
3. Stelle nun den Schieberegler auf b = -2.
Beschreibe wieder was mit dem Graphen von g und der Asymptote passiert, indem du mit dem Graphen von f vergleichst.
Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

Stelle nun den Schieberegler wieder auf b = 0. Die Graphen von f und g liegen nun wieder aufeinander.
4. Betätige nun den Schieberegler für b beliebig und beobachte was mit dem Graphen von g und der Asymptote bezüglich des Graphen von f passiert. Beschreibe deine Beobachtungen.

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1. Die Funktionsgleichung ist $g(x) = \frac{1}{x}$ und die Gleichung der Asymptote $x = 0$ .

2. Der Graph von f der indirekten Proportionalität wird um 1 in positive x-Richtung verschoben.
Ebenso wird die Asymptote um 1 in positive x-Richtung verschoben.
Die Funktionsgleichung ist $g(x) = \frac{1}{x-1}$ und die Gleichung der Asymptote $x = 1$ .

3. Der Graph von f der indirekten Proportionalität wird um 2 in negative x-Richtung verschoben.
Ebenso wird die Asymptote um 2 in negative x-Richtung verschoben.
Die Funktionsgleichung ist $g(x) = \frac{1}{x-(-2)}=\frac{1}{x+2}$ und die Gleichung der Asymptote $x = -2$ .

4. Der Graph von f wird um b in x-Richtung verschoben.
Ist b > 0, dann erfolgt die Verschiebung von f um b in positive x-Richtung,
ist b < 0, erfolgt die Verschiebung um den Betrag von b, in negative x-Richtung.

Ebenso wird die Asymptote verschoben.

Merke: Den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{x-b}$ erhältst du aus dem Graphen der von $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x}$ indem du den Graphen von $f$ um $b$ in Richtung der x-Achse verschiebst. Dabei wird die senkrechte Asymptote $x = 0$ ebenso um $b$ in Richtung der x-Achse verschoben und die senkrechte Asymptote von $g$ mit $g(x) = \frac{1}{x-b}$ ist $x = b$. Dabei erfolgt die Verschiebung in Richtung der x-Achse wenn b positiv (b>0) ist in positive x-Richtung und wenn b negativ (b<0) ist in negative x-Richtung.

Zusammenfassung:

Für die anfangs gestellten zwei Fragen hast du nun folgende Antworten:

1. Hat der Graph für $x = b$ eine Definitionslücke und senkrechte Asymptote, dann steht im Nenner der
gebrochen-rationalen Funktion der Term $x-b$ oder eine Potenz $(x-b)^n$.

2. Ist $f(x)=\frac{1}{x-b}$, dann erhältst du den Graphen durch Verschiebung des Graphen von $f$
um b in Richtung der x-Achse. Die Asymptote ist $x=b$

Spiegelung an der x-Achse

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit $f(x) = \frac{1}{x}$ ( grün) und der Graph der Funktion g mit $g(x) = \frac{a}{x}$ ( rot) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von a zwischen den Werten a = -1 und a = 1 ändern.

  Aufgabe 2

Der Schieberegler steht in der Stellung a = 1.
Was passiert mit dem roten Graph, wenn du den Schieberegler auf a = -1 stellst? Beschreibe deine Beobachtung.

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Man erhält den roten Graphen für a = -1 , wenn man den grünen Graphen an der x-Achse spiegelt.

Merke: Den (roten) Graphen der Funktion $g$ mit $g(x) = -\frac{1}{x}$ erhältst du aus dem (grünen) Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x}$, in dem du den (grünen) Graphen von $f$ an der x-Achse spiegelst.

Anmerkung:
Du könntest natürlich auch sagen, dass du den grünen Graph an der y-Achse spiegelst. Das Ergebnis ist das gleiche!
Aber wenn du die Funktionsterme anschaust dann hat die Funktion $f$ den Funktionswert $y_f=\frac{1}{x}$. Und die Funktion $g$ hat den Funktionswert $y_g=-\frac{1}{x}$, also ist $y_g=-y_f$, der y-Wert ändert also sein Vorzeichen. Das entspricht der Spiegelung an der x-Achse.

Streckung und Stauchung

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit $f(x) = \frac{1}{x}$ ( grün) und der Graph der Funktion g mit $g(x) = \frac{a}{x}$ ( rot) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von a zwischen den Werten a = 1 und a = 2 ändern. Desweiteren sind für x = -2 und x = 1 die y-Strecken von der x-Achse zum Graphen eingezeichnet.

  Aufgabe 3

Der Schieberegler steht in der Stellung a = 1.
Was passiert mit dem roten Graph, wenn du den Schieberegler auf a = 2 stellst?
Beachte insbesondere die Funktionswerte für x = -2 und x = 1.
Beschreibe deine Beobachtung.
Was passiert geometrisch mit dem grünen Graphen, damit du den roten Graphen erhältst?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Stellt man den Schieberegler auf a = 2, dann werden die Abstände der Punkte auf den Graphen
von der x-Achse größer. Bei x = -2 ist zuerst der Abstand des Punktes (-2;-0,5) von der x-Achse 0,5. Nach Bestätigung
des Reglers ist der Abstand des Punktes (-2;-1) auf dem roten Graphen von der x-Achse 1.
Aus dem y-Wert -0,5 wird also der y-Wert -1.

Ebenso ist es bei x = 1. Aus dem y-Wert 1 wird der y-Wert 2.

Alle y-Werte $\frac{1}{x}$ der Funktion f werden mit a multipliziert und man erhält den $a \cdot \frac{1}{x}=\frac{a}{x}$ .

Man muss den grünen Graphen in Richtung der y-Achse um den Faktor 2 strecken, dann erhält man den roten Graphen.

  Aufgabe 4

Was passiert, wenn a auch andere positive Werte annimmt?
Im folgenden Applet kannst du den Schieberegler für a zwischen 0,1 und 4 variieren.

Was stellst du fest?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Wenn a > 1 ist, dann wird der grüne Graph (Graph von $f$) um den Faktor a in y-Richtung gestreckt und man erhält den roten Graph (Graph von $g$) .

Wenn 0 < a < 1 ist, dann wird der grüne Graph (Graph von $f$) um den Faktor a in y-Richtung gestaucht und man erhält den roten Graph (Graph von $g$) .

Und was ist, wenn a nun auch noch negativ ist?

  Aufgabe 5

Im folgenden Applet kannst du a zwischen -4 und 4 variieren.

Was stellst du fest?

Merke: Bei der Funktion $g$ mit $g(x)=\frac{a}{x}$ werden die Funktionswerte der Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{x}$ mit $a$ multipliziert. Wenn a > 1 ist, dann wird der grüne Graph (Graph von $f$) um den Faktor a in y-Richtung gestreckt und man erhält den roten Graph (Graph von $g$) . Wenn 0 < a < 1 ist, dann wird der grüne Graph (Graph von $f$) um den Faktor a in y-Richtung gestaucht und man erhält den roten Graph (Graph von $g$) . Ist a negativ, dann spiegelt man den Graph von $f$ zuerst an der x-Achse und streckt bzw. staucht ihn danach.

Verschiebung in y-Richtung

  Aufgabe 6

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit $f(x) = \frac{1}{x}$ ( grün) und der Graph der Funktion g mit $g(x) = \frac{1}{x}+c$ ( rot) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von c ändern.

Der Schieberegler für c steht auf c = 0. Die Graphen von f und g liegen aufeinander.
Betätige nun den Schieberegler für c.
Wie entstehen die blauen Pfeile und welche Besonderheiten haben sie? Was stellst du für die Funktionsgraphen von f und g fest?

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Die blauen Pfeile verbinden für gleiches x die entsprechenden y-Werte auf den Graphen von f und g.
Die Pfeile sind alle gleich lang und parallel. Ihre Länge ist der Betrag von c.

Man erhält den Graph von g indem man den Graph von f um c in Richtung der y-Achse verschiebt.

Merke: Zu jedem Funktionswert $\frac{1}{x}$ der Funktion $f$ wird der Wert von $c$ addiert und man erhält $\frac{1}{x}+c$ . Man erhält den Graph der Funtkion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{x}+c$ in dem man den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{x}$ um c in y-Richtung versschiebt. Ist c positiv (c > 0)erfolgt die Verschiebung in positive y-Richtung, ist c negativ (c < 0) so erfolgt die Verschiebung in negative y-Richtung.

Nullstellen

Du kennst die Aussage:

Ein Bruch hat den Wert Null, wenn sein Zähler den Wert Null hat.