M11 dreidimensionales Koordinatensystem

Aus RSG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche

Wir erweitern unser zweidimensionales xy-Koordinatensystem durch eine dritte z-Koordinate.

500

In Geogebra klicken Sie das Fenster "Grafik" weg und wählen im Menü "Ansicht" die Auswahl "3D Grafik" aus. Geben Sie unten in der Eingabezeile A=(1,2,3) ein. Nun wird der Punkt A eingezeichnet. Sie können nun durch Drehen die Lage des Koordinatensystems ändern und erkennen, dass die rote Achse, die x-Achse, die grüne Achse die y-Achse und die blaue Achse die z-Achse ist. Es wird nun ein räumliches Koordinatensystem angezeigt.

Um mit unserem Buch konform zu sein nennen wir die x-Koordinate nun x1-Koordinate, die y-Koordinate nun x2-Koordinate und die z-Koordinate nun x3-Koordinate.
Für unseren Punkt A(1;2;3) bedeutet dies, dass x1=1, x2=2 und x3=3 ist.
In GeoGebra ist die x1-Achse rot, die x2-Achse grün und die x3-Achse blau.

Die x1-Koordinate des Punktes P(2;4;5) ist

Die x3-Koordinate des Punktes P(-1;24;5) ist

Die x2-Koordinate des Punktes P(2;-4;-5) ist

prüfen!


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

1. Berechne die Länge der Strecke [OA], wobei O(0;0;0) der Ursprung ist. 2. Berechne die Länge der Strecke [AB] mit A(1;2,3) und B(4;5;6)
3. Berechne die Länge der Strecke [AC] mit A(1;2;3) und C(-1;2;-3).
4. Berechne die Länge der Strecke [AD] mit A(1;2;3) und D(-1,5;-3).

[Lösung anzeigen]


Um weiter mit unserem Buch konform zu sein, vereinbaren wir, dass wir ein dreidimensionales Koordinagensystem so zeichnen, dass die x1-Achse schräg nach vorne zeigt, die x2-Achse nach rechts und die x3-Achse nach oben. Die Koordinatenebenen zerlegen den Raum in acht Teile, sogenannte Oktanten.

Oktanten.jpg


Bei den Oktanten I bis IV ist x3 stets positiv, bei den Oktanten V bis VIII ist 3 negativ.

I. Oktant: x1 > 0, x2 > 0, x3 > > 0
II. Oktant: x1 < 0, x2 > 0, x3 > > 0
III. Oktant: x1 < 0, x2 < 0, x3 > > 0
IV. Oktant: x1 > 0, x2 < 0, x3 > > 0

V. Oktant: x1 > 0, x2 > 0, x3 > < 0
VI. Oktant: x1 < 0, x2 > 0, x3 > < 0
VII. Oktant: x1 < 0, x2 < 0, x3 > < 0
VIII. Oktant: x1 > 0, x2 < 0, x3 > < 0

Durch die Achsen werden drei Ebenen festgelegt:

  • x1x2-Ebene (rot),
  • x1x3-Ebene (blau),
  • x2x3-Ebene (gelb).