M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Bruchgleichungen

Bei den Bruchgleichungen der 8. Klasse hast du schon Gleichungen wie $\frac{x}{x+1}=x$ gelöst. Als Lösung hast du x=0 erhalten. Das konntest du lösen. Aber bei einer Gleichung wie $\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}$ mit der Definitionsmenge D = R\{-1;0;1} gab es schon Probleme. Wie löse ich dies?
Wenn du die Bruchgleilchung $\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}$ mit dem Produkt der Nenner (x²-x)(x²-1) multiplizierst, dann erhältst du:
$\frac{6(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-x}=\frac{5(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-1}$ und gekürzt:
$6(x^2-1)=5(x^2-x)$
Man kann nun zusammenfassen und vereinfachen: $6x^2-6 = 5x^2 -5x$ --> $x^2 - 6 = -5x$ --> $x^2+5x-6=0$ das ist eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst.

  Aufgabe 1

Bestimme für die Bruchgleichung $\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}$ die Definitionsmenge und ermittle dann die Lösungsmenge L.

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Da unsere Grundmenge R ist, ist D=R\{-1,0,1}; die quadratische Gleichung $x^2+5x-6=0$ hat die Lösungen $x_1=-6, x_2=1$. Allerdings ist $x_2=1$ nicht in der Definitionsmenge, also ist L={-6}.

  Aufgabe 2

Buch S. 76 / 6

{{Lösung versteckt|1=Man verwendet den neben der Aufgabe stehende Tipp. Man multipliziert die Gleichung zuerst mit dem Hauptnenner.
a) D=R\{-1;1}, HN=(n-1)(n+1)
n+1 + n-1 = n², also n²-2n=0, n₁=0, n₂=2
b) D=R\{$.\sqrt 2 , \sqrt 2$}, HN = (x+$\sqrt 2$)(x-$\sqrt 2$)
$(x-\sqrt 2)^2 + (x+\sqrt 2)^2 =3(s-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)$
$x^2-2\sqrt 2 x+2+x^2+2\sqrt 2 x +2 =3(x^2-2)$
$2x^2 + 4 = 3x^2 -6$
$10=x^2$, also L={$-\sqrt {10}, \sqrt {10}$}
c) D=R\{-1;1} (3. binomische Formel x²-1=(x-1)(x+1)!) HN =