M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Bruchgleichungen

Bei den Bruchgleichungen der 8. Klasse hast du schon Gleichungen wie $\frac{x}{x+1}=x$ gelöst. Als Lösung hast du x=0 erhalten. Das konntest du lösen. Aber bei einer Gleichung wie $\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}$ mit der Definitionsmenge D = R\{-1;0;1} gab es schon Probleme. Wie löse ich dies?
Wenn du die Bruchgleilchung $\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}$ mit dem Produkt der Nenner (x²-x)(x²-1) multiplizierst, dann erhältst du:
$\frac{6(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-x}=\frac{5(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-1}$ und gekürzt:
$6(x^2-1)=5(x^2-x)$
Man kann nun zusammenfassen und vereinfachen: $6x^2-6 = 5x^2 -5x$ --> $x^2 - 6 = -5x$ --> $x^2+5x-6=0$ das ist eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst.

  Aufgabe 1

Bestimme für die Bruchgleichung $\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}$ die Definitionsmenge und ermittle dann die Lösungsmenge L.

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Da unsere Grundmenge R ist, ist D=R\{-1,0,1}; die quadratische Gleichung $x^2+5x-6=0$ hat die Lösungen $x_1=-6, x_2=1$. Allerdings ist $x_2=1$ nicht in der Definitionsmenge, also ist L={-6}.

  Aufgabe 2

Buch S. 76 / 6

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Man verwendet den neben der Aufgabe stehende Tipp. Man multipliziert die Gleichung zuerst mit dem Hauptnenner.
a) D=R\{-1;1}, HN=(n-1)(n+1)
n+1 + n-1 = n², also n²-2n=0, n₁=0, n₂=2
b) D=R\{$.\sqrt 2 , \sqrt 2$}, HN = (x+$\sqrt 2$)(x-$\sqrt 2$)
$(x-\sqrt 2)^2 + (x+\sqrt 2)^2 =3(s-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)$
$x^2-2\sqrt 2 x+2+x^2+2\sqrt 2 x +2 =3(x^2-2)$
$2x^2 + 4 = 3x^2 -6$
$10=x^2$, also L={$-\sqrt {10}, \sqrt {10}$}
c) D=R\{-1;1} (3. binomische Formel x²-1=(x-1)(x+1)!) HN = $x^2-1$

x(x+1)-(15-x)=0 --> x² +2x -15 = 0 --> x₁=-5; x₂=3

Anwendungsaufgaben

  Aufgabe 3

Knobelaufgabe S. 76 / 9
Dreiecksaufgabe S. 76 / 11
Busfahrt S. 77 / 14

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76/9a) Die zugehörige Gleichung ist $x = x^2-1$ mit der positven Lösung $x_1=\frac{1+\sqrt 5}{2}$.
b) Die zugehörige Gleichung ist $x = \frac {1}{x} +1$ mit den Lösungen $x_1=\frac{1-\sqrt 5}{2}, x_2=\frac{1+\sqrt 5}{2}$

76/11 Mache dir zuerst eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks (Hypotenuse c unten, Katheten rechts und links, z.b. die rechte Kathete länger, dann ist die längere Kathete b, die kürzere a) Es ist dann a = b-7, c = b+1 und mit dem Satz von Pythagoras erhält man $(c+1)^2=b^2+(b-7)^2$. Nun löst man die Klammern auf und fasst zusammen. Es ergibt sich die quadratische Gleichung $b^2-16b+48=0$, welche die Lösungen $b_1=4, b_2=12$. Wegen a = b-7 ist b₁=4 keine Lösung, also hat das Dreieck die Seitenlängen a = 5, b = 12, c = 13.
(Übrigens ist (5;12;13) ein pythagroräisches Zahlentripfel!)
$u_{Dreieck}=5+12+13=30$, $A_{Dreieck}=\frac{1}{2}4\cdot 12=30$
Der Umkreis hat den Radius $r=\frac {c}{2}=6,5$ (Thaleskreis!), also ist $A_{Kreis}=6,5^2 \pi\approx 132,73$
Es ist $\frac{A_{Dreieck}}{A_{Kreis}}=\frac{30}{132,73}=0,226=22,6%$

77/14 Für den vollen Bus sind n Mitfahrer eingeplant. Jeder Mitfahrer zahlt dann für die Busfahrt $x=\frac{450}{n}$.
Da nun 5 Personen weniger mitfahren, es ist also die Anzahl der Mitfahrer n - 5. Und jeder Mitfahrer zahlt nun x + 1.
Man hat nun die Gleichung $450 = (n-5)(x+1)$. Diese Gleichung hat nun zwei Unbekannte n und x. Wir kennen aber einen Zusammenhang zwischen n und x, nämlich $x=\frac{450}{n}$ oder $n=\frac{450}{x}$. Setzt man die letzte Gleichung für n in die Gleichung $450 = (n-5)(x+1)$ ein, so erhält man $450 = (\frac{450}{x}-5)(x+1)$. Die Gleichung $450 = (\frac{450}{x}-5)(x+1)$ kann man in eine quadratische Gleichung umwandeln, indem man sie mit $x$ multipliziert (und dabei auf der rechten Seite die erste Klammer als $\frac{450-5x}{x}$ schreibt, dann fällt nämlich beim Multiplizieren mit x der Nenner weg.)
$450x=(450-5x)(x+1)$
$450x=450x+450-5x^2-5x$
$0=450-5x^2-5x |\cdot -\frac{1}{5}$
$x^2+x-90=0$ mit den zwei Lösungen $x_1=-10, x_2=9$.

Also war ursprünglich geplant, dass 50 Mitfahrer jeweils 9€ zahlen. Nun sind es 45 Mitfahrer und jeder zahlt 10€.