M11 Vektorprodukt

Bisher haben wir zwei Multiplikationen bei Vektoren kennengelernt.

• die S-Multiplikation, die Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor
• das Skalarprodukt, die Multiplikation zweier Vektoren, dessen Ergebnis eine Zahl ist.

In der Physik haben Sie die Lorentzkraft bei der Bewegung geladener Teilchen in einem Magnetfeld kennengelernt. Mit der rechten-Hand-Regel konnte man die Richtung der Kraft auf die Teilchen bestimmen. Dazu verwendet man, dass die drei Finger Daumen - Zeigefinger - Mittelfinger auf natürliche Weise ein Rechtssystem, ein Koordinatensystem mit zueinander senkrecht stehenden Achsen, bilden. Dabei zeigt der Daumen in Bewegungsrichtung positver Ladungen, der Zeigefinger in Richtung des Magnetfeldes und der gestreckte Mittelfinger geht in Richtung der Lorentzkraft. In der Physik sind die Geschwindigkeit v, das Magnetfeld B und die Kraft F gerichtete Größen, d.h. sie haben eine Richtung einen Betrag. Man kann sie gut durch Vektoren darstellen. Hier wird also zu zwei gegebenen Vektoren ein dritter Vektor gesucht.

  Aufgabe 1

Finden Sie jeweils einen dritten Vektor $\vec n$ heraus, der mit den zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ein Rechtssystem bilden.
a) $\vec a= \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right), \vec b= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right)$ , b) $\vec a= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right), \vec b= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)$ , c) $\vec a= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right), \vec b= \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)$ , d) $\vec a= \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right), \vec b= \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 1 \\\ -1 \end{array}\right)$

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a) $\vec n = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)$
b) $\vec n = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)$
c) $\vec n = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right)$

d) Es ist $\vec a \circ \vec b = 0$, also stehen $\vec a$ und $\vec b$ senkrecht zueinander. Dann findet man auch einen dritten Vektor, der jeweils senkrecht zu ihnen steht, z.B. $\vec n=\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ -1 \end{array}\right)$.

Merke: Zu den Vektoren $\vec a=\left ( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2 \\\ a_3 \end{array}\right)$ und $\vec b=\left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3 \end{array}\right)$ bildet man das Vektorprodukt $\vec a \times \vec b$ durch $\vec a \times \vec b = \left ( \begin{array}{c} a_2b_3-a_3b_2 \\\ a_3b_1-a_1b_3 \\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{array}\right)$. Man spricht für $\vec a \times \vec b$ : "Vektor a Kreuz Vektor b". Eigenschaften des Vektorprodukts $\vec a \times \vec b$: Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt $\vec a \times \vec b$ ist ein Vektor, der senkrecht zu den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ steht. Die Vektoren $\vec a, \vec b$ und $\vec a \times \vec b$ bilden ein Rechtssystem. Der Betrag des Vektors $\vec a \times \vec b$ ist $|\vec a \times \vec b|=|\vec a||\vec b|sin\varphi$, wobei $\varphi$ der Winkel zwischen den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist. Der Betrag des Vektorprodukts ist dann gleich der Maßzahl des Flächeninhalts des von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms. Der Flächeninhalt des von den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms ist $A=|\vec a \times \vec b|$ Die Begründungen zu den Eigenschaften lesen Sie bitte im Buch S. 116 nach.

Beispiele:
1. Für $\vec a=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 4 \\\ 3 \end{array}\right)$ und $\vec b=\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right)$ ist das Vektorprodukt $\vec a \times \vec b$ durch $\vec a \times \vec b = \left ( \begin{array}{c} 4\cdot (-1)-3\cdot 2 \\\ 3\cdot 1-(-2)\cdot (-1) \\\ -2\cdot 2-4\cdot 1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -10 \\\ 1 \\\ -8 \end{array}\right)$.

2. Für $\vec a=\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ -2 \\\ 2 \end{array}\right)$ und $\vec b=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$ ist das Vektorprodukt $\vec a \times \vec b$ durch $\vec a \times \vec b = \left ( \begin{array}{c} -2\cdot 2- 2\cdot 1 \\\ 2\cdot (-2)-1\cdot 2 \\\ 1\cdot 1-(-2)\cdot (-2) \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -6 \\\ -6 \\\ -3 \end{array}\right)$.

  Aufgabe 2

Ermitteln Sie drei Vektoren, die auf den Vektoren $\vec a=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 4 \\\ 3 \end{array}\right)$ und $\vec b=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ -3 \end{array}\right)$ senkrecht stehen.

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Es ist $\vec a \times \vec b$ durch $\vec a \times \vec b = \left ( \begin{array}{c} -12-6 \\\ 6-6 \\\ -4-8 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -18 \\\ 0 \\\ -12 \end{array}\right)$.

Damit stehen die Vektoren$\left ( \begin{array}{c} -18 \\\ 0 \\\ -12 \end{array}\right), \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right), \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 0 \\\ -2 \end{array}\right), \left ( \begin{array}{c} 90 \\\ 0 \\\ 60 \end{array}\right), \left ( \begin{array}{c} 1,5 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)$ senkrecht auf $\vec a, \vec b$

  Aufgabe 3

Ermitteln Sie zu $\vec a=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ 1 \end{array}\right)$, $\vec b=\left ( \begin{array}{c} 10 \\\ -6 \\\ 8 \end{array}\right)$ und $\vec c=\left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 1 \\\ 1 \end{array}\right)$
a) $\vec a \times \vec b$
b) $\vec b \times \vec c$
c) $(\vec a \times \vec b)\circ \vec c$
d) $(\vec a \times \vec b) \times \vec c$
e) Wie groß ist der Flächeninhalt des von den Vektoren
i) $\vec a$ und $\vec b$
ii) $\vec b$ und $\vec c$ aufgespannten Parallelogramms.

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a) $\vec a \times \vec b=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ 1 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} 10 \\\ -6 \\\ 8 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -16+6 \\\ 10-16 \\\ -12+20 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -10 \\\ -6 \\\ 8 \end{array}\right)$

b) $\vec b \times \vec c=\left ( \begin{array}{c} 10 \\\ -6 \\\ 8 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 1 \\\ 1 \end{array}\right)=\left ( \begin{array}{c} -6-8 \\\ -8-10 \\\ 10-6 \end{array}\right)=\left ( \begin{array}{c} -14 \\\ -18 \\\ 4 \end{array}\right)$

c) $(\vec a \times \vec b)\circ \vec c=\left ( \begin{array}{c} -10 \\\ -6 \\\ 8 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 1 \\\ 1 \end{array}\right) = 10-6+8=12$

d) $(\vec a \times \vec b)\times \vec c=\left ( \begin{array}{c} -10 \\\ -6 \\\ 8 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 1 \\\ 1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -6-8 \\\ -8+10 \\\ -10- 6 \end{array}\right) =\left ( \begin{array}{c} -14 \\\ 2 \\\ -16 \end{array}\right)$

e) i) $A=|\vec a \times \vec b|=\left |\left ( \begin{array}{c} -10 \\\ -6 \\\ 8 \end{array}\right) \right |=10\sqrt 2$

ii) $A=|\vec b \times \vec c|= \left | \left ( \begin{array}{c} -14 \\\ -18 \\\ 4 \end{array}\right) \right| =2\sqrt {134}$

Merke Der Flächeninhalt des von den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms ist $A=|\vec a \times \vec b|$. Der Flächeninhalt des von den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Dreiecks ist $A=\frac{1}{2} |\vec a \times \vec b|$.

  Aufgabe 4

Buch S. 117 / 3
Buch S. 117 /4

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117/4 a)$A=\frac{1}{2} |\vec {LE} \times \vec {LA}| =\frac{1}{2} \left | \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 1 \\\ 1 \end{array}\right) \right| \times \left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ -4 \end{array}\right) \right| =\frac{1}{2} \left | \left ( \begin{array}{c} -6 \\\ 7 \\\ 1 \end{array}\right) \right| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{86}$.

b) $A=\frac{1}{2} |\vec {BE} \times \vec {BN}| =\frac{1}{2} \left | \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 4 \\\ -4 \end{array}\right) \right| \times \left | \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 0 \\\ 4 \end{array}\right) \right| =\frac{1}{2} \left | \left ( \begin{array}{c} 16 \\\ 16 \\\ 16 \end{array}\right) \right| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{768}=8\sqrt 3$.

c) $A=\frac{1}{2} |\vec {UT} \times \vec {UE}| =\frac{1}{2} \left | \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 8 \\\ -2 \end{array}\right) \right| \times \left | \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 8 \\\ -5 \end{array}\right) \right| =\frac{1}{2} \left | \left ( \begin{array}{c} -24 \\\ -7 \\\ -16 \end{array}\right) \right| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{881}$.

d) $A=\frac{1}{2} |\vec {AL} \times \vec {AF}| =\frac{1}{2} \left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 5 \\\ -2 \end{array}\right) \right| \times \left | \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 6 \\\ -1 \end{array}\right) \right| =\frac{1}{2} \left | \left ( \begin{array}{c} 7 \\\ 0 \\\ 7 \end{array}\right) \right| = \frac{7}{2} \cdot \sqrt{2}$.

Merke: Rechengesetze für das Vektorprodukt $\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)$ $(r \cdot \vec a )\times \vec b = r \cdot (\vec a \times \vec b)$ $\vec a \times (\vec b + \vec c)=\vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c$ Distributivgesetz