M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Extremwertaufgaben

Einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 6cm wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass eine Rechteckseite l auf einer Dreieckseite liegt und die anderen Eckpunkte des Rechtecks auf den beiden anderen Dreieckseiten liegen. Im folgenden Applet ist die Situation dargestellt. Die Rechteckseite l liegt auf der Dreieckseite [AB].

Den Punkt E kann man auf der Dreieckseite [AB] bewegen. Dadurch ändert sich das Rechteck der Aufgabe. Über dem Wert der Rechteckseite l wird der Flächeninhalt $A_R$ des Rechtecks aufgetragen. Dies ergibt im Applet den Punkt $A_R$. Wenn man die Lage des Punktes E ändert, ändert sich auch die Rechteckfläche und der Punkt $A_R$ wandert. Der Punkt $A_R$ hat die Koordinaten $A_R(l;A_R(l))$
Das Rechteck hat Flächeninhalt 0, wenn l = 0 oder l = 6 ist. Gibt es ein Rechteck mit größtem Flächeninhalt?

Für den Punkt $A_R$ im Applet kann man die Spur anzeigen, die sich ergibt, wenn E bewegt wird. Man sieht, dass die Spur eine Parabel ergibt, deren Scheitel bei l = 3 liegt. Man kann auch den Wert von $A_R$ zu $A_R(3)=7,8$ ablesen.
Da der Flächeninhalt $A_R$ des einbeschriebenen Rechtecks von der Seitenlänge l abhängt, kann man eine Funktion $A_R :l \rightarrow A_R(l)$ angeben, die für jeden Wert von $l \in [0;6]$ den Wert $A_R(l)$ angibt. Für diese Funktion gilt es nun den Funktionsterm zu bestimmen.
Der Punkt E kann vom Ursprung bis zum Mittelpunkt der Dreiecksseite [AB] gehen. Seine Koordinaten sind daher $E(3-\frac{l}{2};0)$.
Die Dreiecksseite [AC] ist Teil einer Gerade, deren Geradengleichung y = mx + t wir bestimmen wollen. Da sie durch den Ursprung geht ist t = 0. Also müssen wir noch die Steigung m der Geraden bestimmen. Da das Dreieck ABC ein gleichseitiges Dreieck ist, wissen wir seit wir den Satz des Pythagoras kennen, dass die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a $h=\frac{a}{2}\sqrt 3$ ist.

Die Steigung m ist dann $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{a}{2}\sqrt 3}{\frac{a}{2}}=\sqrt 3$
Die Gerade hat also die Gleichung $y = \sqrt 3 \cdot x$.
Damit können wir zur Länge l des Rechtecks nun die Breite b angeben. b geht von E senkrecht nach oben bis zur Dreiecksseite [AC]. b hat also den Wert $b=\sqrt 3 \cdot x$, wobei hier x die x-Koordinate des Punktes E ist, für die sich oben $x = 3 - \frac{l}{2}$ ergeben hat.

Die Rechtecksfläche ist dann $A = l \cdot b$. Nun ist $x = 3 - \frac{l}{2}$ und damit $b = \sqrt 3 \cdot (3-\frac{l}{2})$ und damit $A = l \cdot \sqrt 3 \cdot (3-\frac{l}{2})=\sqrt 2 \cdot (3l-\frac{l^2}{2})=\frac{\sqrt 3}{2}(6l-l^2)$. Dies ist die Gleichung einer nach unten geöffneten Parabel, die ihre größten Wert im Scheitel annimmt.
Die Nullstellen des Terms $\frac{\sqrt 3}{2}(6l-l^2)=\frac{\sqrt 3}{2}\cdot l \cdot (6-l)$ sind $l=0$ und $l =6$. Das hatten wir uns schon oben überlegt.
Der Scheitel der Parabel liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, also hier bei x = 3 und der Flächeninhalt des größten Rechtecks ergibt sich zu $A_R(3)=\frac{\sqrt 3}{2}(6\cdot 3-3^2)=4,5 \cdot \sqrt 3 \approx 7,794$.

Merke: Kennt man die Nullstellen x1 und x2 einer Parabel mit der Gleichung y = ax2 + bx + c, dann liegt ihr Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. Die x-Koordinate des Scheitels ist xS=0,5(x1 + x2). Die y-Koordinate des Scheitels yS erhält man, indem man xS in die Parabelgleichung einsetzt.

  Aufgabe 1

Buch S. 92 / 3

Wenn man den Punkt auf der schrägen Strecke bewegt, sieht man wie sich das Rechteck ändert. Die Fläche des Rechtecks wird angezeigt und man stellt fest, dass der Flächeninhalt A des Rechtsecks am größten ist, wenn x = 85 ist und es ist A = 3400cm².

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Der obere, rechte Eckpunkt bewegt sich auf einer Geraden mit der Gleichung $y=-\frac{2}{5}x+74$. x kann nur Werte von 60 bis 85 annehmen, also $x \in [60;85]$.
Der Flächeninhalt A ist $A=x \cdot y = x \cdot (-\frac{2}{5}x+74)=-\frac{2}{5}x^2+74x$. Der Funktionsterm ist der Term einer Gleichung einer nach unten geöffneten Parabel.

Der Term lässt sich umformen in $-\frac{2}{5}x^2+74x=\frac{2}{5}x(-x+185)$. An diesem Term sieht man leicht seine Nullstellen. Es ist $\frac{2}{5}x(-x+185)=0$ für $x_1=0$ und $x_2=185$, also schneidet die Parabel die x-Achse in $x_1=0$ und $x_2=185$. Ihr Scheitel liegt bei $x_S=\frac{1}{2}(x_1+x_2)=92,5$. Dieser x-Wert liegt nicht in der Definitionsmenge [60;85] für x. Da es sich um eine nach unten geöffnete Parabel handelt und die x-Werte von 60 bis 85 links vom Scheitel liegen, nehmen die Parabelwerte zum Scheitel hin zu und der größte Wert auf der Parabel ist bei x = 85 erreicht.

Merke Eine Parabel ist achsensymmetrisch zu einer senkrechten Geraden durch ihren Scheitel.