M11 Aufgaben und Anwendungen der Vektorrechnung

  Aufgabe 1

Buch S. 102 / 1
Buch S. 120 / 4
Buch S. 121 / 5

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1. Gesucht sind die Punktkoordinaten, diese werden waagrecht an den Punktnamen angefügt.
A(6;0;0); B(6;12;0), C(0;12;0), D(0;0;0), E(6;0;7), F(6;12;7), G(0;12;7), H(0;0;7)
M1 ist der Schnittpunkt der Flächendiagonale der unteren Fläche. Für den Ortsvektor $\vec {m_1}$ des Mittelpunktes der Strecke [DB] hat man die Formel $\vec {m_1}=\frac{1}{2}(\vec d + \vec b$. Dies liefert dann aie Koordinaten des Schnittpunktes.
M1(3;6;0), M3(3;12;3,5), M6(3;6;7) und M(3;6;3,5)

4. a) $\vec {AB}= \vec b - \vec a = \left ( \begin{array}{c} -5 \\\ 1 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -7 \\\ -2 \end{array}\right)$ und $\vec {BA}= -\vec {AB}= \left ( \begin{array}{c} 7 \\\ 2 \end{array}\right)$

b) $\vec {AB}= \vec b - \vec a = \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ -1 \\\ -4 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} -5 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 10 \\\ -2 \\\ -2 \end{array}\right)$ und $\vec {BA}= -\vec {AB}= \left ( \begin{array}{c} -10 \\\ 2 \\\ 2 \end{array}\right)$

c) $\vec {AB}= \vec b - \vec a = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -1 \\\ 3 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ -3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2 \\\ 6 \end{array}\right)$ und $\vec {BA}= -\vec {AB}= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ -6 \end{array}\right)$

5. In dem gezeichneten Koordinatensystem im Buch ist keine Achsenskalierung angegeben. Für die Angaben wurden jeweils zwei Kästchen als 1 LE angenommen.
$\vec a= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -1 \end{array}\right), \vec b = \left ( \begin{array}{c} -1,5 \\\ 1,5 \end{array}\right), \vec c = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \end{array}\right), \vec d= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2 \end{array}\right), \vec e = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \end{array}\right), \vec f = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \end{array}\right)$
a) $\vec a + 2 \vec b + \vec c = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -1 \end{array}\right) + 2\cdot \left ( \begin{array}{c} -1,5 \\\ 1,5 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \end{array}\right)$
b) $\vec c + \vec d - \vec a = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ -1 \end{array}\right)$
c) $\vec e - \vec f + 2\vec c + \vec d = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \end{array}\right) + 2\cdot \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 8 \\\ -2 \end{array}\right)$

d) $\vec a + \vec b + \vec c + \vec d + \vec e + \vec f + \left ( \begin{array}{c} 7,5 \\\ 0 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -1 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} -1,5 \\\ 1,5 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -2 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 7,5 \\\ 0 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 15 \\\ 2,5 \end{array}\right)$

  Aufgabe 2

Buch S. 121 / 10

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Ausgangspunkt ist die Funktion $f : x \rightarrow \frac{1}{x}$ D=R\{0},
Die Definitionslücke ist bei x = 0. Die beiden Hyperbeläste sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

.

a) Die Funktion $f_1: x \rightarrow \frac{1}{x-1}$ hat die Definitionslücke bei x = 1. Also wird der Graph der Funktion $f$ um 1 nach rechts in x-Richtung verschoben.
Zu jedem Funktionswert wird 4 addiert. Also wird zusätzlich noch in y-Richtung um 4 nach oben verschoben.
Das Symmetriezentrum ist nun (1;4) und der Verschiebungsvektor $\vec u = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 4 \end{array}\right)$. Der grüne Graph der Funktion $f$ wird um 1 nach rechts und 4 nach oben verschoben. Man erhält den roten Graph der Funktion $f_1$.

b) Die Funktion $f_2: x \rightarrow \frac{1}{x+2}$ hat die Definitionslücke bei x = -2. Also wird der Graph der Funktion $f$ um -2 in x-Richtung (um 2 nach links) verschoben.
In y-Richtung passiert nichts.
Das Symmetriezentrum ist nun (-2;0) und der Verschiebungsvektor $\vec v = \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \end{array}\right)$ . Der grüne Graph der Funktion $f$ wird um 2 nach links verschoben und man erhält den blauen Graph der Funktion $f_2$.

  Aufgabe 3

Bestimmen Sie die Koordinaten
1. des Mittelpunkts der Strecke [AB] mit
a) A(0;3;-4) und B(-6;1;-2)
b) A(8;0,5;-5) und B(-3;1,5;-1)
2. den Schwerpunkt des Dreiecks ABC mit A(-2;0;3), B(5;2;1) und C(0;4;2)

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1a) $\vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec b) = \frac{1}{2} \cdot \left [ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 3 \\\ -4 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} -6 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right) \right ] = \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 2 \\\ -3 \end{array}\right)$
b) $\vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec b) = \frac{1}{2} \cdot \left [ \left ( \begin{array}{c} 8 \\\ 0,5 \\\ -5 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 1,5 \\\ -1 \end{array}\right) \right ] = \left ( \begin{array}{c} 2,5 \\\ 1 \\\ -3 \end{array}\right)$ und M(2,5;1;-3)

2. $\vec s=\frac{1}{3}(\vec a + \vec b + \vec c) = \frac{1}{3} \left [ \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 4 \\\ 2 \end{array}\right) \right ]= \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 6 \\\ 6 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 2 \end{array}\right)$ und S(1;2;2)

  Aufgabe 4

Buch S. 123 / 29a

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