Bei den Beispielen zum exponentiellen Wachstum war der Term immer von der Form
. Dabei war b der Anfangsbestand und a der Wachstumsfaktor. Diese Gleichung beschreibt einen neuen Funktionstyp. Bei diesen Funktionen steht die Variable x im Exponenten, daher heißen diese Funktionen Exponentialfunktionen.
Merke:
Die Funktion (bc ∈ R+\{0}, a ∈ R+) heißt Exponentialfunktion zur Basis a.
|
![Bleistift 35fach.jpg](/images/thumb/8/84/Bleistift_35fach.jpg/30px-Bleistift_35fach.jpg)
Aufgabe 1
Schaue dir den Video an
1. Wieso darf man für die Basis a nur positive reelle Zahlen verwenden?
2. Wie unterscheiden sich die Graphen, wenn a > 1 bzw. a < 1 ist?
3. Welchen Punkt haben alle Graphen der Exponentialfunktionen
gemeinsam?
4. Was ist die Funktion
?
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Aus den Beispielen kennst du, dass x irgendeine reelle Zahl, also eine negative oder positive Zahl oder 0 sein kann.
Wenn a=0 wäre, was ist dann 0^0 oder 0-1?
00 ist nicht definiert, ebenso wäre
ein nicht definierter Term.
Wenn a eine negative Zahl wäre, z.B. a = -2, was ist dann
?
Für a = -2 hätte man den Term
, was in den reellen Zahlen nicht möglich ist, dies ist nicht definiert.
2. Wenn a > 1 ist, dann hat man eine monoton steigenden Graphen, wenn a < 1 ist, dann ist der Graph monoton fallend.
3. Alle Graphen haben den Punkt (0;1) gemeinsam.
4. Es ist
![1^x=1](/images/math/d/9/f/d9ff552d9b0a2fbfa89f91f1e9ad267d.png)
, daher ist diese Funktion die konstante 1, also die Funktion, die jedem x fir Zahl 1 zuordnet.
![Nuvola apps kig.png](/images/thumb/a/aa/Nuvola_apps_kig.png/30px-Nuvola_apps_kig.png) Merke
Bei einem Funktionsgraphen geht man bei der Betrachtung immer in x-Richtung von links nach rechts, d.h. die x-Werte nehmen zu, sie werden größer.
Ein Graph ist streng monoton fallend, wenn mit zunehmenden x-Werten, die y-Werte kleiner werden.
Der Graph ist streng monoton steigend, wenn mit zunehmenden x-Werten, die y-Werte größer werden.
Beim grünen Graphen werden die y-Werte immer größer, wenn die x-Werte auch größer werden, der grüne Graph ist streng monoton steigend,
beim roten Graphen werden die y-Werte immer kleiner, wenn die x-Werte größer werden (man geht von links nach rechts), der rote Graph ist streng monoton fallend.
|
![Bleistift 35fach.jpg](/images/thumb/8/84/Bleistift_35fach.jpg/30px-Bleistift_35fach.jpg)
Aufgabe 2
Im folgenden Applet kannst du den Wert der Basis mit dem Schieberegler variieren.
Verifiziere die Aussagen zur Monotonie bei der Exponentialfunktion
.