M11 Die Kettenregel

Die Ableitung einer Funktion $f$, die die Verkettung der Funktionen $u$ und $v$ ist, erhält man mit der Kettenregel. Es ist $f(x)=u \circ v(x)=u(v(x))$.
Nach der Definition der Ableitung ist $f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
Nun muss man dabei beachten was die Funktionen $u$ und $v$ dabei machen.
Wenn $x \to x_0$ ist, dann ist $v(x) \to v(x_0)$.
$v(x), v(x_0)$ sind die Argumente, die in u eingesetzt werden. Dabei ist dann, wenn $v(x) \to v(x_0)$ ist , auch $u(v(x)) \to u(v(x_0))$.

Damit kann man den Differenzenquotienten schreiben:
$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{u(v(x)-u(v(x_0))}{x-x_0}=\frac{u(v(x)-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)}\cdot \frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}$.
Beim letzten Term stimmt der Nenner des ersten Bruches mit den Zähler des 2. Bruches überein.
Der erste Bruch $\lim_{x \to x_0}\frac{u(v(x)-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)}$ bedeutet, dass man $u$ nach $v(x)$ ableitet und der zweite Bruch $\lim_{x \to x_0}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}$ bedeutet, dass man $v$ nach $x$ ableitet.

Also hat man $f'(x)=(u\circ v)'(x)=(u(v(x))'=u'(v)\cdot v'(x)$.

Merke: Kettenregel $f'(x)=(u\circ v)'(x)=(u(v(x))'=u'(v)\cdot v'(x)$. Man leitet zuerst die äußere Funktion ab und multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion. Dies nennt man Nachdifferenzieren.

Beispiele:
1.Wir nehmen das Anfangsbeispiel der Seite M11_Verkettung_von_Funktionen
Es ist $f(x)= \sqrt {x^2+1}$. Dabei ist $u(v)=\sqrt v$ die Funktionsgleichung der äußeren Funktion. Das Argument der Funktion $u$ wurde mit $v$ bezeichnet, damit man sieht, dass die Variable von $u$ nun $v$ (eigentlich $v(x)$) ist.
Die innere Funktion hat die Funktionsgleichung $v(x)=x^2+1$.
Für die Ableitung $f'$ der Funktion $f$ differenziert man die äußere Funktion $u$ nach $v$. Also ist $u'(v)=\frac{1}{2\sqrt v}$ und multipliziert dieses Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion $u$ nach $x$, also mit $u'(x) = 2x$.
Insgesamt erhält man nun $f'(x)=u'(v)\cdot u'(x)=\frac{1}{2\sqrt v} \cdot 2x = \frac{2x}{2\sqrt v}$. Nun ersetzt man wieder $v$ durch $x^2+1$ und kürzt 2, dann ist das Ergebnis

$f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt {x^2+1}}$.

2. $f$ mit $f(x)=(5x^2 -3)^{2021}$ ist die Verkettung der Funktion $u$ mit $u(v)=v^{2021}$ mit der Funktion $v$ mit $v(x)=5x^2 -3$.
Die Ableitung von $u(v)=v^{2021}$ ist $u'(v)=2021v^{2020}$ (Ableitung der äußeren Funktion)
und die Ableitung von $v(x)=5x^2 -3$ ist $v'(x)=10x$ (Ableitung der inneren Funktion).
Die Ableitungsfunktion $f'$ erhält man durch $f'(x)= u'(v) \cdot v'(x)= 2021v^{2020} \cdot 10x$.
Nun ersetzt man weider $v$ durch $5x^2 -3$ und hat dann die Ableitung der Funktion $f$

$f'(x) = 2021(5x^2-3)^{2020}\cdot 10x=20210x(5x^2-3)^{2020}$.

Und das ging doch deutlich besser als die Potenz $(5x^2 -3)^{2021}$ auszurechnen und ein Polynom vom Grad 2021 abzuleiten!

Man kann die Schreibweise auch verkürzen, indem man die Schreibweise mit "v" weglässt und gleich nur mit den Funktionen von x schreibt. Dabei wird gleich v durch den Funktionsterm v(x) ersetzt.
Das Beispiel 1 ergibt dann $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt {x^2+1}}\cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt {x^2+1}}$.
Das Beispiel 2 schreibt sich dann $f'(x)=2021(5x^2-3)^{2020} \cdot 10x = 20210x(5x^2-3)^{2020}$.

Schauen Sie sich auch die Beispiele 2 bis 4 im Buch auf S. 130 an. Beim Beispiel 3 kann man das Quadrat ausrechnen und ableiten. Man erhält das gleiche Ergebnis, wie wenn man den ursprünglichen Term mit der Kettenregel ableitet.
Das Beispiel 4 verdeutlicht die Auswirkung auf die Definitionsmenge, was sehr selten vorkommt.

  Aufgabe 1

Buch S. 131 / 4

{{Lösung versteckt|1=a) $f'(x)=2(1+3x^2)\cdot 6x=12x(1+3x^2)$ und $f'(2)=312$
b) $f'(x)=2(1-x^4)\cdot 4x^3 =8x^2(1-x^4)$ und $f'(1)=0$
c) $f'(x)=2(1+2x+x^2)\cdot (2+2x)=(4+4x)(1+2x+x^2)$ und $f'(-1)=0$
d) $f'(x)=2(1-5x)\cdot (-5) = -10+50x$ und $f'(0)=-10$
e) $f'(x)=2(x^5+1)\cdot 5x^4=10x^4(x^5+1)$ und $f'(-1)=0$
f) Hier berechnet man zuerst in der runden Klammer (3x)² = 9x² und leitet dann $(x-9x^2)^2$ ab.
$f'(x)=2(x-9x^2)\cdot (1-18x)$ und $f'(2)=2380$
g) $f'(x)=2(2x+\frac{1}{4x})\cdot (2 - \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{x^2})$ und $f'(0,5)=3$
h) $f'(x)=-2\frac{1}{(1+4x)^3}\cdot 4 =-\frac{8}{(1+4x)^3}$ und $f'(0,5)=\frac{8}{27}$