M9 Potenzen mit rationalen Exponenten

Merke: Für die allgemeine Wurzel $\sqrt[n]{a}$ kann man auch eine Potenz $a^{\frac{1}{n}}$ schreiben. Es ist für a $\in R_0^+$, n $\in$ N \ {1} $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ Weiter ist $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ Insbesondere ist $\sqrt[n]{a^n}=a^{\frac{n}{n}}=a^1=a$

Beispiele:

$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$
$8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt [3]{64}=4$
$512^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{512} = 2$
$625^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625} = 5$
$625^{-\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625^{-1}} = \sqrt[4]{\frac{1}{625}}=\frac{1}{5}$
$256^{\frac{3}{8}} = \sqrt[8]{256^3} = \sqrt[8]{(2^8)^3}=\sqrt[8]{2^{24}}=\sqrt[8]{(2^3)^8}=2^3=8$
$256^{0,375}=256^{\frac{3}{8}} =8$

30px   Merke Im Exponent kann nun ein Bruch stehen. Auch dann gelten die bisher bekannten Potenzgesetze: $a^{\frac{m}{n}}\cdot a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}$ $a^{\frac{m}{n}}: a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}$ $a^{\frac{m}{n}}\cdot b^{\frac{m}{n}}=(ab)^{\frac{m}{n}}$ $a^{\frac{m}{n}}: b^{\frac{m}{n}}=(a:b)^{\frac{m}{n}}$ $\left ( a^{\frac{m}{n}} \right ) ^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq}}$

Sind r und s rationale Zahlen, dann schreibt es sich einfacher $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$ $a^r : a^s = a^{r-s}$ $a^r \cdot b^r = (ab)^r$ $a^r : b^r = (a:b)^r$ $(a^r)^s = a^{r\cdot s}$

30px   Aufgabe 1

Schaue dir die Beispiel im Buch auf S. 114 in der unteren Hälfte und auf S. 115 an.

Beispiele:

Vereinfache so weit als möglich:
$\sqrt 5 \cdot \sqrt [3]{5}=5^{\frac{1}{2}}\cdot 5^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=5^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{5^5}\approx 3,82$
$6^{\frac{1}{2}}: 6^{\frac{1}{3}}=6^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=6^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{6}\approx 1,35$
$4^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$
$28^{\frac{1}{3}}: 3,5^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$
$7^{2,25}\cdot 7^{1,25}=7^{2,25-1,25}=7^1 =7$
$\sqrt 5 \cdot \sqrt [3]{25}=5^{\frac{1}{2}}\cdot 5^{\frac{2}{3}}=5^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=5^{\frac{7}{6}}=\sqrt[6]{5^7}=5\cdot\sqrt[6]{5}\approx 6,54$

Radiziere so weit als möglich (teilweises Radizieren)
$\sqrt [5]{3072} = \sqrt [5]{3\cdot 1024}=\sqrt [5]{3\cdot 4^5}=4\cdot \sqrt[5]{3}\approx4,98$
$\sqrt[6]{640}=\sqrt [6]{10\cdot 2^6}=2\sqrt [6]{10}\approx 2,94$

30px   Merke Noch ein paar Tipps bevor es ans Rechnen geht! Wenn ein Minuszeichen im Exponenten steht, dann beachte, dass $a^{-r}=\left ( \frac{1}{a} \right )^r$ ist. Bei der Einführung der rationalen Exponenten ist $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt [n]{a^m}=(\sqrt [n] {a})^m$. Hier sieht man, dass der Nenner n des Exponenten für die Wurzel zuständig ist und der Zähler m potenziert. Man hat auch zwei Möglichkeiten $a^{\frac{m}{n}}$ zu berechnen: 1. $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt [n]{a^m}$, d.h. es wird zuerst die Basis mit m potenziert und dann die m-te Wurzel gezogen. 2. $a^{\frac{m}{n}} =(\sqrt [n] {a})^m$, d.h. man zieht zuerst aus der Basis die n-te Wurzel und potenziert dann. Am Beispiel $81^{\frac{3}{4}}$ sieht man, dass oft der zweite Weg der günstigere ist: 1. $81^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{81^3}=\sqrt[4]{531441} = 27$ Hier hilft nur noch der Taschenrechner, das ist im Kopf nicht machbar! 2. $81^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27$ Hier blieben die Zahlen klein und überaschaubar. Wenn der Term z.B. $79^{\frac{3}{4}}$ ist, dann weiß man, dass 79 eine Primzahl ist und es ist keine Wurzel möglich. Dann lässt man den Term auch gleich als Ergebnis $79^{\frac{3}{4}}$ stehen. Man kann auch noch die Schreibweise ändern $79^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{79^3} = \sqrt[4]{493039}$, das bringt aber nichts. Einzig einen Näherungswert mit dem Taschenrechner berechnen ist eventuell sinnvoll $79^{\frac{3}{4}} \approx 26,5$.

30px   Aufgabe 2

Berechne ohne Taschenrechner.
a) $81^{\frac{1}{4}}; 216^{\frac{1}{3}}; 25^{\frac{3}{2}}; 32^{\frac{3}{5}}; 0,25^2$

b) $10000^{-\frac{1}{4} }; 512^{\frac{2}{3} }; 4^{-2,5}; 1024^{1,1}; 343^{\frac{2}{3}}$

c) $0,25^{\frac{3}{2}}; 0,008^{-\frac{2}{3}}; \left ( \frac{1}{9}\right )^{\frac{3}{2}}; \left ( -\frac{1}{27} \right )^{\frac{2}{3}}; 0,01^3$

d) $-\left ( \frac{27}{64}\right) ^{\frac{1}{3}}; \left ( \frac{27}{64}\right) ^{-\frac{1}{3}}; \left ( \frac{36}{49}\right) ^{-0,5}; - \left ( \frac{81}{256}\right) ^{-0,25}; -64^{\frac{1}{3}}; \left (- \frac{16}{625} \right )^{0,75}$

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a) ) $81^{\frac{1}{4}} = \sqrt [4]{3^4}=3$
$216^{\frac{1}{3}}=\sqrt [3]{6^3}=6$
$25^{\frac{3}{2}}=(\sqrt {25})^3=5^3=125$
$32^{\frac{3}{5}}=(\sqrt[5]{2^5})^3=2^3=8$
$0,25^2=0,0625$

b) Es ist oft sinnvoll zuerst die Wurzel zu ziehen (Nenner) und dann zu Potenzieren (Zähler).
$10000^{-\frac{1}{4}}=\left ( \frac{1}{10000} \right )^{\frac{1}{4}}=\sqrt [4]{\frac{1}{10^4}}=\frac{1}{10}$
$512^{\frac{2}{3}}=(\sqrt [3] {512}^2=8^2=64$
$4^{-2,5}=4^{-\frac{5}{2}}=\left( \frac{1}{4} \right )^{\frac{5}{2}}=\left ( \frac{1}{2} \right )^5=\frac{1}{32}$
$1024^{1,1}=(2^10)^{\frac{11}{10}}=2^{11}=2048$
$343^{\frac{2}{3}}=(7^3)^{\frac{2}{3}}=7^2=49$

c) Auch hier zuerst (mit den Nenner) radizieren und dann (mit dem Zähler) potenzieren.
$0,25^{\frac{3}{2}}=0,5^3=0,125$
$0,008^{-\frac{2}{3}}=0,2^{-2}=(\frac{1}{5})^{-2}=25$
$\left ( \frac{1}{9}\right )^{\frac{3}{2}}=\left ( \frac{1}{3} \right )^2=\frac{1}{9}$
$\left ( -\frac{1}{27} \right )^{\frac{2}{3}}=\left ( \frac{1}{3} \right )^2 = \frac{1}{9}$
$0,01^3=0,000001$

d) $-\left ( \frac{27}{64}\right) ^{\frac{1}{3}}=- \sqrt[3]{\frac{27}{64}}=-\frac{3}{4}$
$\left ( \frac{27}{64}\right) ^{-\frac{1}{3}}=\left ( \frac{64}{27}\right) ^{\frac{1}{3}}=\sqrt [3]{\frac{64}{27}}=\frac{4}{3}$
$\left ( \frac{36}{49}\right) ^{-0,5}=\left ( \frac{49}{36}\right) ^{0,5}=\sqrt { \frac{49}{36}}=\frac{7}{6}$
$- \left ( \frac{81}{256}\right) ^{-0,25}= - \left ( \frac{256}{81}\right) ^{\frac{1}{4}}=-\sqrt[4]{\frac{256}{81}}=-\frac{4}{3}$
$-64^{\frac{1}{3}}=-\sqrt[3]{64}=-4$

$\left (- \frac{16}{625} \right )^{0,75}=\left ( -\frac{16}{625} \right )^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{ -\frac{16}{625}}$ kann man nicht vereinfachen, da bei einer 4. Wurzel (geraden Wurzel) der Radikand nicht negativ sein darf!